Величины, характеризующие напряженное состояние тела

Если к телу приложены внешние силы и создано препятствие его свободному движению, то тело находится в напряженном состоянии. На тело действуют внешние силы; реакции связей, ограничивающие движение тела; силы трения в местах контакта тела с инструментом. Одной из задач теории ОМД является определение этих сил.

При действии внешних сил на тело в нем появляются уравновешивающие их (внутренние) усилия. Их интенсивность называется напряжением. Необходимо уметь определять напряжение в любой точке напряженного тела.

Для этого выделим небольшой объем вокруг точки, в которой нужно вычислить напряжение. Общее напряжение S можно разложить на его проекции на оси координат:

S² = S_x² + S_y² + S_z²

Напряжение, действующее на гранях элементарного куба, раскладывается на нормальное и касательное.

П олностью напряженное состояние на гранях элементарного куба описывается тензором напряжений.

В декартовых координатах:

,

где – проекции на оси прямоугольной системы координат полных напряжений, действующих на гранях элементарного куба – нормальные напряжения; остальные составляющие – касательные напряжения.

В цилиндрических координатах:

где – проекции на оси цилиндрической системы координат полных напряжений, действующих на гранях цилиндрического сектора – нормальные напряжения;

Цилиндрическая система координат удобна при анализе напряженного состояния проволоки, прутков, труб или других издлий цилиндрической формы.

Проекции полного напряжения:

где – направляющие косинусы, т.е. косинусы углов между нормалью к поверхности и осями координат.

Нормальное напряжение:

Касательные напряжения:

Если последовательно уменьшать ребра элементарного куба, то он обратится в точку. В этом случае тензор напряжений будет характеризовать напряженное состояние в данной точке тела.

Дифференциальные уравнения равновесия имеют вид:

Напряжения, возникающие в теле под действием внешних сил, в общем случае различны в различных точках, т.е. они являются функциями координат. Поскольку среда непрерывна, то при переходе от одной точки к другой соответствующие напряжения непрерывно меняются на малую величину. Если тело находится в равновесии, то сумма проекций всех сил и сумма моментов всех сил относительно каждой из осей равна нулю. Рассмотрим сумму моментов относительно оси Z.

Три последних члена уравнения малы по сравнению с первым. Отбросив их, получим . Проведя аналогичные вычисления относительно двух других осей, получим:

закон парности (взаимности) касательных напряжений.

Таким образом, напряженное состояние в произвольной точке тела в самом общем виде может быть охарактеризовано шестью величинами: тремя нормальными и тремя касательными составляющими напряжения.

Схемы с напряжениями одного знака называют одноименными, а с напряжениями разных знаков – разноименными. Условно растягивающие напряжения считают положительными, с сжимающие – отрицательными.

Над тензорами можно производить операции сложения и вычитания. Для практических расчетов полный тензор напряжений раскладывают на шаровой тензор T⁰ и девиатор напряжений D_s.

T_s = T⁰ + D_s; Если , то

шаровой тензор

девиатор напряжений .

Шаровой тензор характеризует такое напряженное состояние, при котором будет происходить только изменение объема тела, а девиатор – только изменение формы элементарного объема.