Вероятность появления хотя бы одного события.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, , А_п, независимых в совокупности (событие А) равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Доказательство. Пусть А₁, А₂, , А_п − независимые события, а противоположные им события, также независимые. Так как А и противоположны ( означает, что ни одно из событий А₁, А₂, , А_п не наступило), то сумма их вероятностей равна 1, т. е.

откуда

Эту формулу можно записать в виде

Замечание. Если все независимые события А₁, А₂, , А_п имеют одну и ту же вероятность р, то появление хотя бы одного из них определяется формулой

P (A) = 1 − qⁿ (q = 1 − p).

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны р₁ = 0.8, р₂ = 0.7, р₃ = 0.9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Пусть А₁, А₂, А₃ − попадание из 1, 2, 3 орудий соответственно независимых в совокупности. Вероятности промахов равны:

q₁ = 1 − p₁ = 0.2; q₂ = 1 − 0.7 = 0.3; q₃ = 1 − 0.9 = 0.1.

Искомая вероятность равна

Пример 2. В типографии имеется 4 станка. Для каждого вероятность того, что он работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы один станок (событие А).

Решение. Вероятность того, что в данный момент станок не работает, равна q = 1 − p = 0,1. Тогда

P (A) = 1 − q⁴ = 1 − (0,1)⁴ = 0,9999.

Так как Р (А) близка к 1, то можно заключить, что в данный момент работает хотя бы один станок.

Вероятность гипотез. Формула Байеса.

Теорема. Пусть Н₁, Н₂, , Н_п − полная группа гипотез и А − событие, которое может произойти только с одной из гипотез Н_k. Вероятность того, что событие А произошло вместе с гипотезой Н_k (P_A (H_k)) вычисляется по формуле Байеса

Доказательство. По теореме умножения вероятностей

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез, после того, как в результате опыта событие А произошло.

Вероятности гипотез, известные до испытания, называют априорными (от латинского a priori − «сперва»), а вычисленные после испытания − апостериорными или уточненными (от латинского a posteriori − «после»).

Пример. В условиях предыдущего примера пусть известно, что в результате испытания был извлечен белый шар. Что более вероятно: что он был извлечен из первой или второй корзины?

Решение. Известно, что , Тогда вероятность того, что белый шар был извлечен из первой урны, равна:

Вероятность того, что белый шар извлечен из второй урны, равна:

Таким образом, вероятнее, что белый шар был извлечен из первой урны, чем из второй.

Повторение испытаний.

Определение. Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний.

Пусть производится серия из п независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью Р (А) = р, тогда в каждом испытании