III. Формула Пуассона.
Если вероятность наступления события А в одном испытании достаточно мала, а число испытаний велико, то полезно пользоваться формулой Пуассона.
Обозначим произведение n∙p = и предположим, что число испытаний неограниченно растет, а вероятность появления события А в одном испытании неограниченно убывает так, чтобы произведение n∙p = оставалось неизменным. Тогда
,
подставляя эти значения в формулу Бернулли, получим
Так как п∙р сохраняет постоянное значение, то при п вероятность р 0.
Таким образом
− формула Пуассона.
Примечание. Таблица значений функции Пуассона приведена на странице .
Формула используется в задачах, относящихся к редким событиям.
Пример. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 человек?
Решение. Имеем схему независимых испытаний, в которой п = 800, р = 0.01, k = 5. Здесь = п∙р = 8, тогда
IV. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа.
Определение. Дифференциальной функцией Лапласа называется функция
Примечание. Функция (х) − четная, т. е. (х) = (- х).
Определение. Интегральной функцией Лапласа называется функция
Примечание. Функция Ф (х) − нечетная, т. е. Ф (х) = Ф (- х).
Значения функций Лапласа для положительных значений х табулированы и соответствие таблицы можно найти в любом учебнике, задачнике или справочнике по теории вероятностей, причем, необходимо иметь в виду, что при х ≥ 4 (х)≈ 0, а при х> 5 Ф (х) ≈ 0,5.
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события А в каждый из п независимых испытаний постоянна и равна р (0< p < 1), то вероятность появления этого события ровно k раз приближенно равна
Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (0 < p < 1), то вероятность Рп (k1, k2) появления события А не менее k1 и не более k2 раз приближенно находится по формуле
где
Замечание. Приближенные формулы Муавра – Лапласа применяют практически в том случае, если p и q не малы, а n∙p∙q ≥ 9.
Примеры 1. Игральная кость брошена 500 раз. Найти вероятность того, что одно очко выпадет ровно 83 раза.
Решение.
Проводятся п
= 500 независимых испытаний, в каждом из
которых с вероятностью
появляется одно очко и с вероятностью
не появляется. В данной задаче п∙р
> 10, n∙p∙q
> 20, поэтому применим локальную теорему
Муавра – Лапласа:
По таблице получаем
(− 0,04) = (0,04) = 0,3986,
Примеры 2. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных не более 17?
Решение. Из условия задачи имеем, что п = 1100, р = 0,01, q = 0,99, 0 ≤ k ≤ 17. Тогда п∙р∙q > 10. Значит по теореме Муавра – Лапласа получаем
С помощью таблицы значений интегральной формулы Лапласа находим
Ф (х1) = Ф (- 0,33) = − Ф (3,33) ≈ − 0,4995;
Ф (х2) = Ф (1,82) ≈ 0,4656.
Тогда окончательно получаем
Р100 (0; 17) = 0,4656 – (- 0,4995) = 0,9651.