Свойства операций.

1. коммутативность: А + В = В + А, А∙В = В∙А;

2. ассоциативность:

(А + В) + С = А + (В + С) = (А + С) + В = А + В + С;

(А∙В) С = А (В∙С) = (А∙С) В = А∙В∙С;

3. дистрибутивность:

(А + В) С = (А∙С) + В∙С.

Не все законы сложения и умножения чисел справедливы для алгебры событий. Например: А + А = А, А∙А = А.

Пусть U − достоверное событие;

V − невозможное событие;

А − любое событие.

Тогда справедливы равенства:

1) U + V = U;	7) A∙ = V;	11) Если В  А, то А∙В = В и А + В = А.
2) A + V = V;	8) A∙U = A;
3) A + U = A;	9) ;	12) Если А+В =U и А∙В= V, то А = или В = , т. е. события А и В противоположные.
4) A + = U;	10) любое событие А можно разложить на сумму двух несовместных событий A = A∙U = A (B + ) = = A∙B + A∙ .
5) U∙V = V;
6) A∙V = V;

При определении вероятности события, часто приходится представлять сложные события в виде комбинации более простых, применяя сложение и умножение.

Пример. Производится три выстрела по мишени. Записать события: D − ровно одно попадание; Е − не менее двух попаданий.

Решение. Обозначим А − попадание в первом выстреле;

В − попадание во втором выстреле;

С − попадание в третьем выстреле;

− промах в первом выстреле;

− промах во втором выстреле;

− промах в третьем выстреле.

Тогда D = А∙ ∙ + ∙В∙ + ∙ ∙С;

Е = ∙В∙С + А∙ ∙С + А∙В∙ + А∙В∙С.

Сложение вероятностей

Теорема (сложения вероятностей двух совместных событий). Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) − Р (А∙В).

Доказательство. Пусть п − общее число элементарных исходов;

т₁ − число исходов, благоприятствующих событию А;

т

А

А

₂ − число исходов, благоприятствующих событию В;

ℓ − число исходов, благоприятствующих появлению события А∙В.

Тогда .

Для события А + В будет т₁ + т₂ − ℓ благоприятствующих исходов.

Действительно, складывая число исходов т₁ и т₂, благоприятствующих соответственно событиям А и В, мы дважды считаем исходы, благоприятствующие событию А∙В. Следовательно, при подсчете числа исходов, благоприятствующих событию А + В, значение ℓ необходимо исключить. Таким образом,

Теорема (сложения вероятностей двух несовместных событий). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство. Так как А и В несовместны, то А∙В = V − несовместное событие, следовательно Р (А∙В) = Р (V) = 0. Тогда

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Эту теорему легко распространить на любое число несовместных событий.

Пример.

Следствие 1. − попарно-несовместные события.

Доказательство. По индукции п = 2 доказано. Пусть справедливо для n = k – 1, тогда она верна и для n = k:

Следствие 2. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна 1.

,

где − полная группа.

Доказательство. Так как − образуют полную группу, то их сумма есть достоверное событие (появление одного из событий полной группы есть достоверное событие) и

.

Пример.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

.

Доказательство. Пусть А и − противоположные события. Так как они образуют полную группу, то по следствию 1 имеем .

Замечание. Введем обозначения Р (А) = р, Р ( ) = q, тогда p + q =1.

Пример.