V. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности события в независимых испытаниях.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа позволяет оценить вероятность отклонения относительной частоты появления события А в серии из п независимых испытаний от вероятности р его появления в одном испытании.

Задача. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа .

Решение. Зададим достаточно малое положительное число  и оценим вероятность того, что

|W (A) – p| < , т. е.

Это означает, что число т появлений события заключено в пределах

n (p − ) < m < n (p + ).

Вычисляя значения х₁ и х₂ по теореме Муавра – Лапласа получим, что

Пример. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности р = 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01?

Решение. По условию задачи дано: р = q = 0,5,  = 0,01, Р = 0,6. Найдем величину п из соотношения

По таблице функции Лапласа найдем . Тогда

VI. Производящая функция.

До сих пор мы рассматривали испытания с одинаковыми вероятностями появления события (опыты, произведенные в одинаковых условиях). Рассмотрим серию испытаний, в которых вероятности появления события различны (независимые опыты производятся в различных условиях).

Определение. Производящей функцией вероятностей Р_п(k) называют функцию, определяемую равенством

_n (z) = (p₁∙z + q₁)∙(p₂∙z + q₂)∙∙(p_n z + q_n),

где z − произвольный параметр.

Теорема (общая теорема о повторении опытов). Если производится п независимых опытов в различных условиях и вероятность события А в i-том опыте равна p_i (i = 1, 2, , n), то вероятность P_n(m) того, что событие А появится в этих опытах ровно т раз, равна коэффициенту при z^m в разложении по степеням z производящей функции.

Пример. Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний; вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно: р₁ = 0,1; р₂ = 0,2; р₃ = 0,3; р₄ = 0,4. Найти вероятность ни одного, одного, двух, трех, четырех попаданий.

Решение. Составим производящую функцию:

₄ (z) = (0,1∙z + 0,9)∙(0,2∙z + 0,8)∙(0,3∙z + 0,7)∙(0,4∙z + 0,6) =

= 0,002∙z⁴ + 0,040∙z³ + 0,215∙z² + 0,440∙z + 0,302.

Откуда получаем Р₄(0) = 0,302, Р₄(1) = 0,440, Р₄(2) = 0,215, Р₄(3) = 0,040, Р₄(4) = 0,002.

Задачи (комбинаторика).

1) Сколькими различными способами можно выбрать трех человек на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение. Так как здесь имеет значение, состав этой команды, то нужно воспользоваться формулой для размещения, т. е

2) Сколькими различными способами можно выбрать трех человек на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение. Так как в этой задаче не имеет значения состав из трех человек, то нужно воспользоваться формулой для сочетания, т. е

3) Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1; 1; 1; 2; 2; 2.

Решение. В этом примере три числа равны 1, а остальные равны 2. Значит здесь необходимо воспользоваться формулой для перестановок, т. е.

4) Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: замок, ротор, топор, колокол?

Решение. В составленных словах играет роль состав, а порядок не важен. Поэтому воспользуемся формулой перестановок

а) Р₅ = 5! = 5∙4∙3∙2∙1 = 120, здесь нет повторяющихся букв;

б) здесь 2 буквы «о» и 2 буквы «р»;

в) , здесь 2 буквы «о»;

г) , здесь 3 буквы «о», 2 буквы «к» и 2 буквы «л».

5) в группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов сделать это?

Решение. − Старосту можно выбрать 30 способами, т. е. п₁ = 30;

− заместителя можно выбрать 29 способами, т. к. один человек уже староста и его нельзя выбрать его заместителем − п₂ = 29;

− профорга можно выбрать 28 способами, т. к. двоих уже выбрали старостой и заместителем − п₃ = 28.

Тогда и старосту и заместителя и профорга можно выбрать п способами (союз «и» означает умножение):

п = п₁∙п₂∙п₃ = 30∙29∙28 = 24360.

6) Пять студентов сдали экзамен. Каким числом способов возможно распределение оценок?

Решение. Пятерку можно распределить 5 способами между пятью студентами, четверку − пятью способами, тройку − пятью способами.

Значит, распределить оценки между пятью студентами можно N способами, т. е.

N = n^k,

где k − число студентов, п − число оценок. Тогда

N = 3⁵ = 243.

7) Сколько можно составить шестизначных телефонных номеров так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были разными?

Решение. Всего цифр 10, а в номерах их должно быть 6. Значит, чтобы составить различные номера из этих цифр, необходимо просто их переставлять. В этом случае играет важную роль состав номеров. Тогда воспользуемся формулой размещения.

По условию задачи п = 10, k = 6. Следовательно

8) Сколько разных треугольников можно получить, соединяя по три вершины десятиугольника?

Решение. Вершин в десятиугольнике 10 (п = 10), а в треугольнике 3 (k = 3). Состав здесь не важен, поэтому можно воспользоваться формулой сочетания, т. е.

9) Каким числом способов можно рассадить в один ряд 7 человек?

Решение. Так как порядок людей не важен, то один человек может занимать любое место в ряду. Значит людей рассадить в один ряд можно N способами, где п = 7:

N = n! = 7! = 7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 5040.

10) Автомобильные номера состоят из двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров.

Решение. Всего существует 33 буквы и 10 цифр. Значит две буквы можно выбрать 33² способами, а три буквы − 33³ способами. Десять цифр можно выбрать 10⁴ способами, т. к. в номере всего 4 цифры.

По условию задачи номер состоит из 2 букв и 4 цифр (операция умножения)

33²∙10⁴

или из 3 букв и 4 цифр (операция умножения)

33³∙10⁴.

Так как в задаче сказано или - или, то применяется операция сложения, т. е.

N = 33²∙10⁴ + 33³∙10⁴ = 37026∙10⁴.

11) В ящике 300 шаров: 150 черных, 120 белых, остальные красные. Сколько существует способов извлечения из ящика одного черного или белого цвета шара?

Решение. Черный шар можно вынуть 150 способами (п₁ = 150), а белый шар можно вынуть 120 способами (п₂ = 120).

Так как по условию задачи сказано вынуть или черный или белый шар (союз «или» означает сложение), то

п = п₁ + п₂ = 150 + 120 = 270.

28