Примеры.

Пример 1. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена равна 0, 85, а для второго − 0, 8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

Решение. Эту задачу можно решить тремя способами, но мы решим более простым.

Введем обозначения:

А − попадание первого спортсмена;

В − попадание второго спортсмена;

А и В совместные события;

А + В − первый попал, или второй попал, или оба попали в мишень. Тогда

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ).

Пример 2. В урне 30 шаров. Из них 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Вероятность появление красного шара равна − ;

вероятность появления синего шара равна − ;

вероятность появления синего или красного шара (цветного) равна − .

Пример 3. В Волгограде по многолетним наблюдениям в июне 3 дождливых дня. Какова вероятность того, что в любой день июня дождя не будет?

Решение. Введем обозначения

А − дождливый день;

− сухой день.

Тогда вероятность события А равна − , а вероятность противоположного события равна −

Пример 4. Деканат получает пакеты с работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0, 7, из В − 0, 2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. Обозначим события:

А − пакет из города А;

В − пакет из города В;

С − пакет из города С.

Тогда по условию задачи Р (А) = 0, 7; Р (В) = 0, 2. Так как события А, В и С образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1, т. е.

Р (А) + Р (В) + Р (С) = 1

0, 7 + 0, 2 + Р (С) = 1  Р (С) = 1 – 0, 9 = 0, 1.

Независимые и зависимые события

Определение 1. Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления другого.

Пример. Бросают две монеты или два раза бросают монету.

Определение 2. Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или не появления другого.

Пример. В ящике 100 деталей: 80 стандартных и 20 нестандартных. Наудачу берут одну деталь, не возвращая ее в ящик. Какова вероятность того, что при повторном вынимании детали из ящика появится стандартная деталь?

Решение. Если появилась стандартная деталь (А), то извлечение стандартной детали (В) при втором испытании равна ; если же в первом испытании вынута нестандартная деталь, то извлечение стандартной детали при втором испытании равна .

События А и В зависимые между собой.

Замечание. Если А и В независимы, то независимы также события: А и , и В, и .

Определение 3. События А₁, А₂, , А_п называются независимыми в совокупности, или независимыми, если каждое из них и произведение любого числа k остальных (k = 1, 2, , п-1) являются независимыми.

Например. Если А, В, С − независимы в совокупности, то это значит, что независимы А и В, В и С, А и С, А и В∙С, В и А∙С, С и А∙В.

Замечание 1. Из попарной независимости событий не следует их независимость в совокупности.

Замечание 2. Если события А₁, А₂, , А_п независимы в совокупности, то противоположные им события также независимы в совокупности.