- •Классическое определение вероятности. Пространство событий, элементарные события.
- •Свойства вероятности:
- •Элементы комбинаторики
- •Примеры:
- •Частота события. Статистическое определение вероятности.
- •Геометрическая вероятность
- •Алгебра событий
- •Свойства операций.
- •Сложение вероятностей
- •Примеры.
- •Независимые и зависимые события
- •Условная вероятность. Умножение вероятностей
- •Вероятность появления хотя бы одного события.
- •Вероятность гипотез. Формула Байеса.
- •Повторение испытаний.
- •I. Формула Бернулли.
- •II. Наивероятнейшее число появления события при повторении испытаний.
- •III. Формула Пуассона.
- •IV. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа.
- •V. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности события в независимых испытаниях.
- •VI. Производящая функция.
- •Задачи (комбинаторика).
Геометрическая вероятность
Следующим определением, которое помогает перейти к бесконечному числу событий и широко используется на практике, является геометрическое определение вероятности − вероятности попадания точки в данную область.
Задача. Пусть область q содержится в области G. В область G наудачу брошена точка. Найти вероятность попадания точки в область q.
Определение. Вероятность попадания в область q точки, брошенной в область G, определяется формулой
где mes q − мера области q (длина, площадь, объем),
mes G − мера области G.
Предполагается, что вероятность попадания точки в область q: пропорциональна ее мере и не зависит от расположения области q в область G. Для одномерной, двумерной и трехмерной области эта формула соответственно принимает вид
где ℓ − длина, S − площадь, V − объем соответствующей области.
Пример. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
Решение. Известно, что . Тогда
Алгебра событий
Определение. Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу. Событие противоположное событию А обозначается (не А).
Геометрическое представление множества событий называется диаграммой Венна. События будем изображать в виде круга, включающего свои границы.
− заштрихованная область и означает, что событие А не произошло.
Примеры: бросание монеты − орел, решка (аверс, реверс); выстрел по мишени − попадание, промах.
Определение. Суммой, или объединением, двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них (т. е. в появлении или А, или В, или А и В вместе). Обозначается А + В или А В.
П ример. Бросают кость. Пусть А − выпадение четного числа (2, 4, 6), В − выпадение числа, делящегося на 3 (3 и 6). Тогда А + В: выпадение 2, 3, 4, 6.
Аналогично определяется и обозначается сумма п событий − событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма п событий А1, А2, , Ап обозначается так:
или
Определение. Произведением, или пересечением, двух событий А и В называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Обозначается как А∙В или А В (произошло и А и В).
П ример. Бросают кость. Пусть А − выпадение четного числа (2, 4, 6), В − выпадение числа, делящегося на 3 (3 и 6). Тогда А∙В: выпадение 6.
Определение. Разностью событий А и В называется событие, которое означает, что наступает событие А и не происходит событие В (А прошло, В − нет). Обозначается А − В или А\В.
Пример. Бросают кость. Пусть А − выпадение четного числа (2, 4, 6), В − выпадение числа, делящегося на 3 (3 и 6). Тогда А − В: выпадение 2 и 4.
О пределение. Если каждое появление события А сопровождается появлением события В, то говорят, что А влечет за собой В, или что А является частным случаем В, и пишут А В. Если А В, то каждое элементарное событие, входящее в А, содержится в событии В.
О пределение. Если В А и А В, т. е. событие А и В в данном опыте могут появиться или не появиться вместе, то их называют равносильными и пишут А = В.
Опрерации сложения и умножения событий обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел.