Примеры:

1) Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 по два раза?

Решение. Любое из семизначных чисел отличается от другого порядком следования цифр, причем п = 7, п₁ = 7, п₂ = 7, п₃ = 7, т. е. является перестановкой с повторениями из 7 элементов. Их число равно

2) В конкурсе по пяти номинациям участвуют 10 фильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы? б) одинаковые призы?

Решение. а) каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций как составом фильмов, так и их порядком по номинациям (или и тем и другим), причем одни и те же фильмы могут повторяться насколько раз, т. е. представляет размещение с повторениями из 10 элементов по 5. Их число равно

б) Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок следования фильмов в комбинации 5 призов значения не имеет, и число вариантов распределения призов представляет собой число сочетаний из 10 по 5, определяемое по формуле

3) В ящике 300 шаров: 120 − черных, 150 − белых, остальные − красные. Сколько существует способов извлечь из ящика одного черного или белого шара?

Решение. Черный шар можно вынуть 120-тью способами, а белый − 150-тью способами. Так как сказано, что вытаскивают либо черный либо белый, то имеет место операция сложения, т. е.

п = 120 + 150 = 270.

4) В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов сделать это?

п₁ = 30, п₂ = 29, п₃ =28;

п = 30∙29∙28 = 24360.

5) Дано N элементов, в которых п − первого вида. Наудачу отбирают т элементов. Найти вероятность того, что среди отобранных элементов ровно k − первого вида

Решение. Запишем гипергеометрическую формулу («Решебник. Специальные главы» под редакцией проф. Кириллова стр. 257)

Частота события. Статистическое определение вероятности.

Замечание: Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. На практике во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны.

В связи с этим к понятию вероятности существует несколько подходов. Один из них (частотный или статистический) основан на понятии частоты появления события в данной серии опытов.

Определение. Пусть проведено п испытаний, в которых т раз появилось событие А. Тога частотой (частостью) события А называется число W (A), равное отношению числа испытаний т, в которых появилось событие А, к общему числу испытаний п, т. е.

.

Ясно, что 0 ≤ W (A) ≤ 1.

Определение. Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний, т. е. при увеличении числа испытаний частота появления данного события стабилизируется, приближаясь к какой-то постоянной величине. Эта постоянная величина и есть вероятность события.

Это определение вероятности называется статистическим. Теория вероятности вычисляется до опыта, частота − после опыта.

Определение (экспериментальное). Вероятностью события А называется частота события А при достаточно большом числе испытаний.

где п − число испытаний.

Частота сходится по вероятности к Р (А), а слово «стремится» не говорят.

Примеры.

1) Подбрасывание монеты:

− француз Бюффон подбрасывал монету 4040 раз из них орел выпал ровно 2048 раз;

− англичанин Пирсон подбрасывал монету 12000 раз из них орел выпал ровно 6019 раз;

− он же подбрасывал монету 24000 раз из них орел выпал ровно 12012 раз.

2) Демография. Всюду среди 1000 новорожденных − 514 мальчиков, т. е. 514 − доля мальчиков среди 1000 новорожденных.