5. Неустановившееся движение жидкости

В данной главе рассмотрены математические модели общего случая неустановившегося течения жидкости в магистралях, а также частного случая возникновения гидравлического удара в трубопроводах различных гидравлических систем, в том числе в системах водоснабжения и водоотведения.

5.1. Неустановившееся напорное движение жидкости

Движение жидкости называют неустановившемся, если давление и скорость в каждой точке потока зависит и от координат и от времени. Для одномерного движения таким образом .

Применив закон Ньютона к элементу массы жидкости с размерами _{(dS – площадь поперечного сечения трубопровода)}, получим дифференциальное уравнение неустановившегося движения жидкости. Проектируя силы давления и силу тяжести на направление касательной к линии тока и считая жидкость невязкой, получим [3]:

или

_.

Учитывая, что и , где z- вертикальная координата, получим

_.

Умножая на dS и интегрируя вдоль линии тока в некоторый фиксированный момент времени, получим (при условии (ρ = Const)

или

_.

Разделив все члены уравнения на g и сделав простейшие преобразования, получим

. (5.1)

Полученное выражение представляет собой обобщенное уравнение Бернулли для неустановившегося одномерного движения невязкой несжимаемой жидкости, последний член которого можно представить:

(5.2)

Выражение (5.2) представляет собой изменение кинетической энергии жидкости в объеме между фиксированными сечениями 1 и 2 в единицу времени, отнесенное к мгновенному весовому расходу. И это выражение называется инерционным напором.

При неустановившемся движении реальной (вязкой) жидкости уравнение Бернулли содержит и член, учитывающий потери напора на рассматриваемом участке потока. Следовательно, для реального потока (с условием пренебрежения неравномерностью скоростей по сечению) будем иметь:

, (5.3)

где h_п мгновенное значение потери напора, которое обычно рассчитывают приближенно по уравнениям установившегося движения, W – мгновенная средняя скорость потока жидкости.

Инерционный напор реального потока определяется по уравнению (5.2), в которое подставляют приближенные значения локальных ускорений, рассчитанных по изменению средней скорости потокаW.

При этом предполагают, что на участке 1-2 движение является плавно изменяющимся и при расчете h_ин можно во всех сечениях этого участка пренебрегать неравномерностью распределения скоростей потока жидкости.

Для неустановившегося движения жидкости в трубопроводе постоянного сечения локальное ускорение:

в каждый рассматриваемый момент времени одинаково для всех сечений по длине потока и потому инерционный напор составит

, (5.4)

где - длина трубопровода между сечениями 1 и 2.

Рассмотрим конкретный пример, в котором поршень, приводимый в движение с постоянным положительным ускорением j, перемещает жидкость в трубопроводе диаметром d, подключенному к резервуару с уровнем жидкости H₀.

Определим давление у поршня в момент, когда он при нахождении от резервуара на расстояние l движется со скоростью W.Составим для заданного момента времени уравнение Бернулли для потока жидкости от сечения 1 (уровень жидкости в баке) до сечения 2-2 (у поршня).

Учитывая, что , получим

_.

Так как , то вакуум у поршня составит

_,

где W = W₂ - скорость поршня.

В рассмотренном случае инерция столба жидкости вызывает уменьшение давления (увеличение вакуума) у поршня. Когда ускорение поршня будет направлено в противоположную сторону – к баку, то возникает отрицательное ускорение и инерция столба жидкости вызовет увеличение давления.

Достаточно распространенным примером неустановившегося движения жидкости является колебательное движение ее потока. Пусть два резервуара переменных сечений S₁ и S₂ соединены между собой трубопроводом. Уровни жидкости в резервуарах выведены из положения равновесия так, что уровень в левом резервуаре находится на расстоянии z₁ от положительного равновесия, а в правом – на расстоянии z₂ .

В таких условиях жидкость совершает свободные колебания и необходимо составить дифференциальное уравнение колебаний.

Применим уравнение Бернулли (5.3) для некоторого момента времени τ для потока между уровнями в резервуаре. Принимая распределение скоростей потока равномерным по сечению трубопровода, получим

, (5.5)

где W₁ - скорость движения левого уровня, W₂ - скорость движения правого уровня, h_п - потери напора между сечениями 1 и 2, h_ин - инерционный напор.

,

где - скорость жидкости в сечении трубопровода, находящемся на расстоянии l от положений уровней в состоянии равновесия. Так как , то

_.

Используя уравнение постоянства расходов

или ,

получим

;

_.

Поэтому уравнение (5.5) принимает вид

_{. (5.6)}

Скорость W в рассматриваемом сечении трубопровода можно выразить через и после преобразования получим:

_.

Подставляя значение инерционного напора в уравнение (5.6), получим дифференциальное уравнение колебаний жидкости в трубопроводе в виде (5.7)

. (5.7)

Для интегрирования уравнения (7) необходимо знать зависимость изменения площади поперечного сечения трубопровода от его длины.

В случае, если два резервуара соединены трубопроводом постоянного сечения, то можно считать

и уравнение (5.7) принимает вид

. (5.8)

Площади S₁ и S₂ следует задавать функциями z. Однако для случая колебаний с малой амплитудой эти площади можно принимать постоянными.