3.3. Уравнения энергии

При движении любого потока жидкости должен соблюдаться закон сохранения энергии: изменение во времени полной энергии объема жидкости равно сумме работ в единицу времени внешних массовых и поверхностных сил, приложенных к этому объему и его поверхности, сложенном с отнесенным к единице времени количеством подведенной извне теплоты.

(3.14)

Полная энергия объема V представляет собой сумму кинетической Е_к и внутренней Е₀ энергий, определяемых по формулам

; ,

где e = c_VT – внутренняя энергия единицы массы.

Работа массовых A_m и поверхностных A_n сил за единицу времени, то есть мощность, определится как

и ,

где и - мощности сил, отнесенных к единице массы и единице поверхности.

Подведение теплоты к объему жидкости извне в общем случае может складываться из молекулярного и конвективного переносов через поверхность этого объема Q_K и радиационного переноса Q_R , равных:

; ,

где q_R - плотность радиационного переноса теплоты.

Рассмотрим случай E = const, A_n = A_m = q_R = 0. В этом случае внутренняя энергия жидкости будет изменяться только за счет переноса теплоты через поверхность. При этом уравнение энергии примет вид:

Преобразовав правую часть по формуле Остроградского-Гаусса, получим:

С учетом произвольности объема и постоянства величин ρ, с_V и λ уравнение переноса теплоты принимает вид

(3.15)

или

, (3.16)

где - коэффициент температуропроводности.

При наличии только молекулярного переноса теплоты, когда u = v = ω = 0, уравнение (3.16) принимает вид:

. (3.17)

Подставив найденные значения А_n и А_m в (3.14), получим уравнение закона сохранения энергии в виде:

(3.18)

Выполнив некоторые преобразования с использованием формулы Остроградского-Гаусса преобразуем уравнение энергии (3.18) к следующему виду:

,

где

Заменив векторы напряжений компонентами скоростей деформации в соответствии с обобщенным законом Ньютона и выполнив необходимые преобразования, получим уравнение энергии в скалярной форме

,

где функция ψ характеризует величину диссипации энергии и называется функцией диссипации [7].

4. Течение жидкости в трубопроводах

Возможны два вида (режима) течения в трубопроводе: ламинарный и турбулентный.

Ламинарным является слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без колебаний скорости и давлений. В этом течении все линии тока вполне определяются формой русла, по которому движется жидкость. При ламинарном течении жидкости в прямом трубопроводе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, при этом отсутствуют поперечные перемещения жидкости. Но его нельзя считать безвихревым, так как одновременно с поступательным движением имеет место и упорядоченное вращательное движение отдельных частиц жидкости вокруг своих мгновенных центров с некоторыми угловыми скоростями.

Турбулентным считают течение с интенсивным перемешиванием жидкости и колебаниями скоростей и давлений. При этом течении векторы скоростей имеют не только осевые, но и нормальные к оси потока составляющие.