- •Оглавление
- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •[§3.] Принцип неопределенности
- •[§4.] Полный набор динамических переменных
- •[§5.] Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •[§7.] Волновая функция и ее свойства
- •[§8.] Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •[§10.] Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •[§11.] Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин (1/2*)
- •[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы (и *).
- •[§ 19.] Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в квантовой механике
- •§22. Флуктуации физических величин (1/2*)
- •§ 23. Неравенства Гайзенберга. (1/2*)
- •[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •[§ 26.] Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
- •§ 29*. Операторы и и их свойства
- •§ 30. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 31. Матрицы Паули (и их свойства)*.
- •§ 32. Принцип тождественности
- •§33. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения
- •A.1. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение
- •A.2. Критерий применимости теории возмущений
- •A.3. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
§ 20 Производная оператора по времени
Пусть средняя от величины , тогда .
Ставим в соответствие величине оператор , тогда величине ставим в соответствие .
Распишем:
{ограничение } { и соотношение , }=
= ={ }= => {распишем квадратную скобку операторов: , но , тогда
}
В классической механике . []-скобки Пуассона.
В квантовой механике существует связь:
В пределе имеем .
В квантовой механике большинство операторов физических величин явно не зависят от времени и их частные производные равны 0.
§ 21 Интегралы движения в квантовой механике
В классической механике , где , тогда A – интеграл движения.
В квантовой механике, чтобы величина , которой ставится в соответствие оператор , была интегралом движения нужно, чтобы .
Для того чтобы физическая величина сохранялась, необходимо и достаточно, чтобы .
т. к. , то -значение момента импульса сохраняется, т. е. является интегралом движения.
. - интеграл движения.
. Отсюда следует. Что различные компоненты момента импульса одновременно не измеримы. А измерима только одна проекция .
. Квадрат импульса одновременно измерим с любой компонентой момента импульса.
, тогда импульс не является интегралом движения.
§22. Флуктуации физических величин (1/2*)
Пусть есть - физическая величина, которая при измерении с вероятностью Wi дает величину , тогда мы можем говорить о среднем и о дисперсии , где
.
Мы вводили флуктуацию
,
отклонение величины от ее среднего значения.
Перенесем все это на язык квантовой механики, т. к. физической величине мы ставим в соответствие .
Можно показать, что .
Неравенство Коши-Шварца: Оно справедливо и для функциональных пространств, в том числе и для гильбертова пространства, которое рассматривается в квантовой механике.
Для двух векторов оно имеет вид
имеет смысл тот, что .
, .
Теперь если обозначить , , тогда будем также рассматривать статистическое усреднение . Отсюда получим из неравенства Коши-Шварца:
Теперь если определить . К тому же по определению из имеем , тогда . Из этого следует, что
.
В случае квантовой механики заменяем на , тогда
.
Задача. Для стационарного состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме найти
Решение. Будем считать, что в.ф. для данной системы уже получены (см. §27).
Согласно определению: (22.1)
Поэтому остается рассчитать
а) В случае числа находится вычислениями
Подставляя полученные значения в (22.1), получаем
б)Для оператора
Среднее значение будет равно
Подставим в (22.1) и получим
§ 23. Неравенства Гайзенберга. (1/2*)
Канонически сопряженные величины одновременно неизмеримы – это принцип неопределенности.
Под канонически сопряженными понимаем величины и .
В квантовой механике для операторов и , которые поставлены в соответствие канонически сопряженным величинам имеем
.
Более того , а сам коммутатор имеет вид оператора .
Это можно записать в виде .
Если , то , тогда , где .
(*) Вывод:
, т.к. и есть числа.
Обозначим . Здесь - единичный оператор.
Тогда из получим (*)
Введем обозначение
Подставим это в неравенство Коши-Шварца, тогда
Используем эрмитовость операторов
,
,
тогда
.
Поделим левую и правую части на , тогда
Используем определение среднего
,
тогда
.
Или
Операторы и не коммутируют, тогда
.
Первое слагаемое обозначим , .
Второе слагаемое .
Оператор дает чисто вещественное число, а дает чисто мнимое число.
Тогда
,
где .
.
Окончательно
.
В полученном неравенстве математически заложен принцип неопределенности Гайзенберга.
Если величина измерена точно, то ,т.е. .
Если , то величина A измерена точно и , но тогда для , т. к. . Из этого следует, что канонически сопряженная величина B не измерима.
Когда измеряем величину , то получаем спектр значений , которые выходят с вероятностью . Для того чтобы необходимо чтобы система находилась в состоянии .