- •Оглавление
- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •[§3.] Принцип неопределенности
- •[§4.] Полный набор динамических переменных
- •[§5.] Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •[§7.] Волновая функция и ее свойства
- •[§8.] Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •[§10.] Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •[§11.] Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин (1/2*)
- •[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы (и *).
- •[§ 19.] Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в квантовой механике
- •§22. Флуктуации физических величин (1/2*)
- •§ 23. Неравенства Гайзенберга. (1/2*)
- •[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •[§ 26.] Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
- •§ 29*. Операторы и и их свойства
- •§ 30. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 31. Матрицы Паули (и их свойства)*.
- •§ 32. Принцип тождественности
- •§33. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения
- •A.1. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение
- •A.2. Критерий применимости теории возмущений
- •A.3. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
A.1. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение
При n=2 возможно:
p=2, q=0; p=1, q=1; p=0, q=2.
Для членов второго порядка малости запишем из (3)
(9*)
Теперь запишем для второго порядка выражение (5*):
(10*)
Рассмотрим случай i=j:
=
Получили поправку второго порядка малости к энергетическому уровню основного состояния. Пусть j- основное состояние (так как спектр невырожденный). Тогда знаменатель в поправке второго порядка всегда отрицательный. Тогда поправка всегда отрицательна.
Рассмотрим теперь (10*): его можно в общем случае записать, учитывая, что :
Рассмотрим случай i=j:
Из этого уравнения находим действительную часть , а мнимая часть обращается принудительно в ноль.
(11*)
Случай i≠j
Обычно пишут
Тогда
A.2. Критерий применимости теории возмущений
Имеем волновые функции:
- не возмущенное состояние .
- возмущенное состояние , где .
Обе они нормированы на единицу:
Теория возмущений работает, если поправка к невозмущенной функции мала.
Ранее получено
кроме того
,
где - порядок малости в теории возмущений.
Теория срабатывает если поправка мала по сравнению с нормой функции, тогда критерий применимости теории возмущений
также можно использовать другие соотношения, например
Рассмотрим критерий малости
.
Штрих над суммой означает, что при суммировании выбрасываем значения с , т.е. суммирование по , где .
Раньше получали для , тогда
Тогда при получаем критерий применимости теории возмущений в виде неравенства
но этот критерий не всегда верен. Однако если он не выполняется, то теория точно не выполняется.
Этот критерий дает условие:
Отсюда ясно, что если имеются вырожденные уровни, то требуется модификация метода.
Будем считать под состояния системы: .
То
Тогда
A.3. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
Пусть у нас два близких уровня, а остальные уровни хорошо удовлетворяют критерию (5).
Пусть близкие уровни - это уровни i=1,2. Близость уровней определяется из критерия (5).
Модификация теории возмущений состоит в том, чтобы в качестве нулевого приближения для 1 и 2 состояния подобрать такие функции и , которые обращали бы в ноль - числитель критерия (5).
По определению:
Мы рассмотрим набор
Очевидно, что
Распишем:
Рассмотрим свойства невозмущенной функции:
Они удовлетворяют ЗШЛ:
где - невозмущенный оператор.
(6)
Эта матрица имеет диагональный вид, т. к. мы рассматриваем матричные элементы на собственных функциях этого оператора.
Мы ввели и для того, чтобы ввести такой матричный элемент, чтобы он
тогда (5) будет для и давать 0 и теория возмущений будет работать.
Таким образом, мы ввели новый возмущенный базис и . В этом новом базисе мы должны диаганализовать
Искомое преобразование является унитарным, так как оно не нарушает условия нормировки. Надо подобрать коэффициенты
Используем
Но
или в матричном виде
Из свойства ортонормированности найдем свойства коэффициентов
т.е.
Это унитарное преобразование, оно сохраняет нормировку.
Запишем ЗШЛ для модифицированных функций.
тогда подставим явно и
Рассмотрим случай i=1, умножим левую и правую части этого уравнения скалярно на и , тогда имеем:
Введем обозначения:
Перепишем эти уравнения в виде
(7)
Система линейных однородных уравнений. Она имеет нетривиальное решение только при det=0.
Обозначим
Имеем решение
При i=2, то по аналогии
и обозначив
получаем
Во втором случае решение аналогично первому. Однако мы приписываем одному знак +, а другому -.
Имеем тогда уровни энергии:
Перейдем к системе (7). Из нее имеем
Кроме этого используем соотношение
т.е. имеем нормировку
Рассмотрим i=j=1 (и аналогично i=j=2)
Введем обозначение:
где α и β – вспомогательные углы, определяемые через матричные элементы H12, H11 и H22.
Тогда коэффициенты b имеем в виде
Таким образом, при теория возмущений срабатывает для двух близких уровней. Теперь в качестве нулевого приближения берут:
Модификация касалась только этих дух близких состояний. Остальные состояния не модифицировались, т.к. они сразу удовлетворяли критерию.
Теперь и – теория возмущения работает.