- •Оглавление
- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •[§3.] Принцип неопределенности
- •[§4.] Полный набор динамических переменных
- •[§5.] Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •[§7.] Волновая функция и ее свойства
- •[§8.] Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •[§10.] Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •[§11.] Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин (1/2*)
- •[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы (и *).
- •[§ 19.] Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в квантовой механике
- •§22. Флуктуации физических величин (1/2*)
- •§ 23. Неравенства Гайзенберга. (1/2*)
- •[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •[§ 26.] Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
- •§ 29*. Операторы и и их свойства
- •§ 30. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 31. Матрицы Паули (и их свойства)*.
- •§ 32. Принцип тождественности
- •§33. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения
- •A.1. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение
- •A.2. Критерий применимости теории возмущений
- •A.3. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
Будем использовать координатное представление ( - представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки. Действие сводится к умножению на вектор , т. е. (это определение действия оператора ).
Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:
,
однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.
Оператор энергии или гамильтониан :
,
здесь - оператор кинетической энергии, - оператор потенциальной энергии. Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:
Переменная t – признак внешнего нестационарного поля.
Тут присутствует и , но и одновременно неизмеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измеримыми. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо , либо оказываются неизвестными.
§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
Оператор импульса – оператор с непрерывным спектром собственных значений.
(16.1)
Мы рассматриваем координатное представление, тогда - функция координат.
Оператор векторный, он имеет три компоненты:
Например:
(16.2)
Тогда уравнение (16.1) разбивается на три независимых члена, т.к. операторы коммутируют. Существует утверждение, что если можно представить в виде суммы коммутирующих операторов:
, ,
то задача на собственные функции и собственные значения распадается на подзадачи этих коммутаторов:
Для задачи (16.1) имеем:
,
где i принимает значения 1,2,3
Решим случай i=1, тогда
(16.3)
Подставляем (16.2) в (16.3) и временно опустим индекс px у , тогда имеем
т.к. - функция одной переменной, то:
здесь - число, собственное значение.
При решении задачи получили, что p имеет непрерывный спектр на всей числовой оси. Т. е. - не квантуется. Найдем . Используем условие ортонормированности:
В нашем случае:
,
Тогда:
(16.4)
.
.
Обозначим .
.
Тогда
Интеграл дает с точностью до множителя - функцию, поскольку:
Используем следующее свойство -функции:
.
В нашем случае получим
,
тогда
(16.5)
Сравнивая (16.5) и (16.4) получим:
В связи с тем, что волновые функции в квантовой механике определены с точностью до фазового множителя, то
.
Фаза точно не определена, и ее можно отнести к самой волновой функции. Такая неоднозначность принципиальна и не может быть устранена, однако она несущественна, так как не отражается ни на каких физических величинах. Таким образом: . Мы получили
Теперь запишем - для трёх мерного случая:
(16.6)
Функция (16.6) удовлетворяет условию нормировки (16.4).
В импульсном представлении: