- •Оглавление
- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •[§3.] Принцип неопределенности
- •[§4.] Полный набор динамических переменных
- •[§5.] Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •[§7.] Волновая функция и ее свойства
- •[§8.] Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •[§10.] Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •[§11.] Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин (1/2*)
- •[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы (и *).
- •[§ 19.] Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в квантовой механике
- •§22. Флуктуации физических величин (1/2*)
- •§ 23. Неравенства Гайзенберга. (1/2*)
- •[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •[§ 26.] Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
- •§ 29*. Операторы и и их свойства
- •§ 30. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 31. Матрицы Паули (и их свойства)*.
- •§ 32. Принцип тождественности
- •§33. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения
- •A.1. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение
- •A.2. Критерий применимости теории возмущений
- •A.3. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
В случае бесконечно глубокой ямы по определению имеем
Интересующее нас решение ищем на отрезке
.
Поскольку в точках x=0 и x=a потенциальная энергия частица обращается в бесконечность, вероятность преодоления бесконечного барьера и попадания за пределы области равна нулю. Оказавшись в этой области частица все время будет находиться в ней. Из определения волновой функции следует
где в.ф. удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера
совпадающему с определением оператора , т.е. функция есть собственная функция этого оператора, соответствующая собственному значению Е. Из сказанного вытекают граничные условия , накладываемые на решение уравнения.
Таким образом, приходим к задаче
От сюда следует:
(*)
Положительность собственного значения Е оператора вытекает из положительности . Решение уравнения (*) представимо в виде супепозиции двух элементарных сосотояний, которые на языке интерпритируются как волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях оси x:
Подстановка решения в граничные условия приводит к системе однородных уравнений
(**)
Для неизвестных коэффициентов С+/_. Критерий существования нетривиального решения данной системы
дает условие квантования
собственного значения Е. Это означает, что обладает дискретным спектром. Вводя согласно (**) обозначения
где С- неизвестная пока вещественная (в силу наличия у в.ф. произвольного фазового множителя) константа, для искомой в.ф. будем иметь
Поскольку собственные функции оператора с дискретным спектром квадратично интегрируемы, условие нормировки имеет вид
От сюда, интегрируя, получаем
Подставляя найденное значение константы, запишем решение задачи в окончательной форме
[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
Рассмотрим Na. У него есть желтая линия . Возникает при переходе с уровня 3p на 3s.
Первоначально ее длина была 5892
Было обнаружено, что эта линия расщепляется на две: дублет.
Возникла идея расщепления уровня 3p на два, тогда можно объяснить возникновение двух линий.
Их длины: 5896 и 5890 .
В 1925 г. Была предложена гипотеза спина, т. е. собственного механического момента.
У электрона спиновое число s= .
Впоследствии Паули ввел спин в теорию.
Если имеем одну частицу, то она характеризуется орбитальным квантовым числом .
Составная частица (атом) состоит из многих микрочастиц. Можно рассматривать эту составную частицу вцелом и приписать ей момент , который описывает орбитальное движение частицы как целого.
Энергетический уровень этой составной частицы в некоторых полях будет зависеть от орбитальных моментов микрочастиц .
Эти моменты являются внутренним свойством этой составной частицы.
Можно рассматривать 2 момента:
. Этот момент описывает внутреннее движение частицы (относительно центра инерции)
Частица сама движется по некоторой траектории.
У частицы есть еще квантовое число , характеризующее собственный механический момент.
Вводят оператор собственного механического момента:
По аналогии
Спин – внутреннее свойство частицы. Его смысл – у частицы есть внутренний параметр, который реагирует на вращение координат независимо от места положения частицы.