7 Контрольные вопросы

7.1. Дать определение периодического колебания, его мощности, энергии на периоде повторения?

7.2. Что такое система базовых функций? Какие требования накладываются на базовые функции?

7.3. Что такое полнота системы базисных функций?

7.4. Что такое спектр детерминированного сигнала?

7.5. Почему в качестве базисных функций чаще всего выбирают систему гармонических колебаний?

7.6. Как оценить количество гармоник, необходимых для представления реального колебания с заданной точностью?.

7.7. Каким образом связаны между собой коэффициенты ряда Фурье, записанного в тригонометрической и комплексной формах?

7.8. Пояснить соотношение Релея для временного и спектрального представления сигналов.

7.9. Каким образом влияет фазовый сдвиг гармоник на положение колебания внутри периода повторения?

Лабораторная работа № 2 дискретизация и восстановление непрерывных сигналов

1 Цель работы

Изучение процессов временной дискретизации импульсных сигналов и их последующего восстановления с помощью фильтра нижних частот (ФНЧ).

2 Теоретические основы дискретизации сигналов

Как известно [1, 2], представление сигнала s(t) тригонометрическим рядом Фурье справедливо в случае существования сигнала s(t) на конечном отрезке времени длительностью Т (тогда его представление рядом Фурье справедливо только для значений времени t, находящихся на этом отрезке) или для периодического сигнала с периодом T.

Если сигнал s(t) имеет спектральную функцию (спектральную плотность) G_S(ω), отличающуюся от нуля на отрезке частот , то он может быть представлен своими отдельными значениями (отсчетами), следующими через интервал времени, Δt=1/2F_в, где F_в – верхняя частота спектра s(t).

При этом выполняется равенство:

(2.1)

в котором – отдельные значения (отсчеты) сигнала, играющие роль спектральных коэффициентов с_n ряда Фурье, а функции

(2.2)

образуют систему ортогональных базисных функций.

Сформулированное выше положение о возможности представления непрерывного сигнала своими отдельными (дискретными) значениями в отечественной литературе часто называется теоремой Котельникова или теоремой отсчетов. Практическое значение ее заключается в том, что для передачи через канал связи непрерывного сигнала (сообщения) s(t) с ограниченной полосой частот достаточно передавать последовательность его дискретных значений , следующих через интервал дискретизации .

Для восстановления s(t) на приемной стороне при этом необходимо сформировать процесс

(2.3)

где δ(t) – дельта-функция, и подать его на вход идеального ФНЧ с частотой среза F_в, импульсной реакцией которого является функция:

(2.4)

где К_ф(0) – значение коэффициента передачи фильтра на нулевой частоте.

Полагая К_ф(0) =1/2F_в, можно получить на выходе фильтра сигнал, описываемый функцией (1), если на вход подать сигнал s₁(t), описываемый выражением (2.3).

Однако процессы, имеющие спектральную плотность, удовлетворяющую условиям теоремы отсчетов, могут быть предсказаны на сколь угодно большой отрезок времени вперед и, следовательно, не могут нести информацию. Реальные процессы, являющиеся переносчиками информации, могут иметь, спектральную плотность, равную нулю, только в отдельных точках частотной оси. Поэтому их временная дискретизации должна сопровождаться искажением формы восстановленного процесса и, следовательно, потерями информации [2]. Можно показать, что относительная среднеквадратичная ошибка, вызываемая дискретизацией непрерывного процесса x(t), может быть найдена из выражения

(2.5)

где S_x(t) – спектральная плотность мощность процесса x(t);

F_д=1/∆t – частота дискретизации.

Как следует из равенства (2.5), величина среднеквадратичной ошибки, вызванной дискретизацией, определяется энергией части сигнала х(t), содержащейся в участке спектра, отброшенном предположением о верхнем значении его частоты F_в = 0,5F_д.

Наряду с указанной, существуют дополнительные ошибки, которые вызваны невозможностью формирования сигнала на приемной стороне в полном соответствии с формулой (2.1), так как на практике невозможно сформировать импульс, подобный и δ-функции, и невозможно создать идеальный ФНЧ. Замена δ-функции импульсом конечной амплитуды и конечной длительности, как и замена идеального ФНЧ реальным, частотная характеристика которого не имеет нулевого коэффициента передачи на отрезке частот конечной длительности, приводит к ошибкам, которые в первом приближении могут быть оценены методами, разработанными для оценки значений комбинационных искажений, возникающих при демодуляции сигналов с АИМ фильтром нижних частот.