3. Составление и защита отчета

Отчеты выполняются на листах стандартного формата с представлением схем, таблиц, графиков, иллюстрирующих результаты эксперимента. Конкретные требования к содержанию отчета приведены в указаниях к каждой работе. Особое внимание при составлении отчета необходимо уделять выводам, в которых должны быть сформулированы конкретные результаты исследований. Кроме этого, в выводах должен присутствовать анализ соответствия результатов, полученных при экспериментах, с теоретическими положениями и расчетами, выполненными при подготовке к работе. При наличии несовпадений необходимо объяснить причины этого явления при выполнении лабораторных исследований, по которым составлен отчет.

Лабораторная работа № 1 спектральное представление периодических колебаний

1 Цель работы

Изучение спектрального представления периодических колебаний и свойств преобразований Фурье.

2 Теоретические основы спектрального представления периодических колебаний

Как известно [1, 2], детерминированный сигнал s(t), имеющий конечное значение энергии

(1.1)

может быть представлен в виде весовой суммы элементарных сигналов

(1.2)

где – система функций, которые обладают свойством ортогональности

при (1.3)

t₁, t₂ – моменты времени начала и окончания сигналов.

Система чисел с_n называется обобщенным спектром сигнала s(t) в ортогональной системе функций φ_n(t). При n = k в равенстве (1.3) интеграл равен квадрату нормы функции φ_n(t):

(1.4)

Выбирая специальным образом постоянные коэффициенты в функциях φ_n(t), можно добиться условия нормировки, при котором при любом n. Тогда система функций φ_n(t) называется ортонормированной [1, 2]. При этом спектральные коэффициенты c_n могут быть найдены из выражения:

(1.5)

которое является скалярным произведением функций s(t) и φ_n(t) [1, 2].

Равенство (1.5) может быть доказано подстановкой в него разложения (1.2) с учетом условий ортогональности (1.3) и нормировки (1.4) при .

Частным случаем представления (1.2) является тригонометрический ряд Фурье:

(1.6)

где ;

;

;

Т – интервал времени, на котором существует процесс s(t), или период сигнала s(t), если он является периодическим .

Как видно из приведенных выражений, ортогональной системой базисных функций в данном случае является система тригонометрических функций:

1, cos Ωt, sin Ωt, cos 2Ωt, sin 2Ωt, … (1.7)

где Ω – частота первой гармоники сигнала s(t).

Как указано выше, представление сигнала s(t) тригонометрическим рядом Фурье справедливо в случае существования сигнала s(t) на конечном отрезке времени длительностью Т (тогда его представление рядом (6) справедливо только для значений времени t, находящихся на этом отрезке) или для периодического сигнала с периодом T. Тогда ряд (6) справедлив для любых моментов времени.

Комплексная форма ряда Фурье является обобщением тригонометрической формы (1.6):

, (1.8)

где комплексные коэффициенты находятся по формуле, схожей с формулой (1.5):

. (1.9)

В реальных радиосистемах количество членов ряда Фурье ограничивается некоторым конечным числом N. При этом возникают ошибки представления периодических колебаний ограниченным числом гармоник, и величину этих ошибок необходимо уметь определять.