6 Содержание отчёта

6.1 Сформулировать цель лабораторной работы.

6.2 Привести основные аналитические соотношения и результаты расчётов при выполнении домашнего задания.

6.3 Привести графические копии и таблицы результатов экспериментальной части лабораторной работы, сопроводив их развёрнутыми пояснениями относительно спектральных и энергетических свойств видов модулированных колебаний и видов модуляции. Все графики должны иметь подрисуночные подписи.

6.4 Определить энергию оригинального колебания на интервале наблюдения и сравнить её с энергией первых десяти (включая постоянную составляющую) гармоник, амплитуды которых представлены на графике спектра. Получить абсолютные и относительные ошибки представления исходного колебания ограниченным рядом Фурье.

6.5 Сформулировать конкретные выводы по каждому пункту лабораторного задания.

7 Контрольные вопросы

7.1. Дать определение процесса модуляции.

7.2. Дать определение несущей частоты, коэффициента модуляции, индекса модуляции и девиации частоты?

7.3. Что такое перемодуляция и когда она возникает? Каковы её последствия для качества передачи сигнала?

7.4. Назовите основные виды амплитудной модуляции и области их практического применения.

7.5. Приведите спектральную диаграмму двухтональной амплитудной модуляции.

7.6. Как рассчитать кпд амплитудной модуляции для произвольного периодического сигнала?

7.7. Почему амплитудную модуляцию называют линейной, а угловые виды модуляции – нелинейными?

7.8. Каким соотношением при однотональной модуляции связаны индекс модуляции и частота девиации?

7.9. Поясните с физической стороны причину отсутствия в спектре модулированного углового колебания гармоники несущей?

7.10. Как рассчитать кпд угловых видов модуляции для произвольного периодического сигнала? Может ли этот кпд быть равным единице?

7.11. Каковы существенные различия в спектрах АМ- и ЧМ-колебаний при небольших уровнях модуляции?

7.12. Каким образом, зная вид модулирующего сигнала, можно отличить ФМ-колебание от ЧМ-колебания?

Лабораторная работа №4 исследование функций автокорреляции случайных процессов

1. Цели работы

Исследование автокорреляционных функций стационарных случайных процессов, изучение методов аппаратурного корреляционного анализа стационарных случайных процессов.

2. Некоторые сведения из теории случайных

процессов

Функцией автокорреляции случайного процесса называется смешанный центральный момент второго порядка системы двух сечений , , рассматриваемый как функция моментов времени и :

(4.1)

где – плотность вероятности системы ( , );

, – математические ожидания сечений и ;

, – значения сечений и соответственно.

В случае стационарного процесса функция автокорреляции не зависит от значений моментов и , а зависит от расстояния между ними .

Автокорреляционная функция (АКФ) стационарного случайного процесса обладает следующими основными свойствами:

1. Автокорреляционная функция является чётной функцией переменной .

2. Максимальное значение функции автокорреляции достигается при и равно дисперсии случайного процесса .

АКФ является характеристикой скорости изменения (ширины спектра) случайного процесса. Широкополосный (быстро-меняющийся) процесс имеет быстро уменьшающуюся АКФ, тогда как АКФ медленно меняющегося процесса также уменьшается медленно. Мерой быстродействия, скорости изменения случайного процесса служит время корреляции , которое характеризует ширину АКФ по определённому критерию. Одним из таких критериев может быть, например, уменьшение значения АКФ в два раза по сравнению со значением её при . Вторым критерием может быть ширина основания прямоугольника, высота которого равна дисперсии процесса, а площадь равна площади фигуры, ограниченной осями координат и кривой функции корреляции (рис. 1):

. (4.2)

Рисунок 1 – Связь времени корреляции

с формой функции корреляции

В инженерной практике часто используется нормированная функция корреляции (коэффициент корреляции), представляющая собой отношение

(4.3)

Тогда .

Рассмотрим функцию корреляции процесса, полученного в результате прохождения белого шума – процесса с постоянной двусторонней спектральной плотностью мощности – через линейную цепь с постоянными параметрами, которая характеризуется комплексным коэффициентом передачи .

Функцию корреляции такого процесса можно найти двумя способами [1-3].

Первый способ – использование частотного метода. В этом случае ищется спектральная плотность мощности процесса :

(4.4)

Затем использованием обратного преобразования Винера-Хинчина находится функция корреляции

(4.5)

Основным недостатком этого метода является иногда возникающая трудность вычисления интеграла в (4.5).

Вторым способом является временной, использующий для записи выходного процесса интеграл свёртки

(4.6)

где – входной процесс, являющийся белым шумом со спектральной плотностью ,

– импульсная реакция рассматриваемой цепи.

Функция корреляции процесса может быть найдена из выражения

(4.7)

где учтено, что – функция корреляции белого шума.

При использовании временного метода необходимо получить выражение для импульсной реакции цепи и вычислить интеграл типа свёртки (4.7) с учётом основного свойства импульсной реакции физически реализуемой цепи при . При вычислении интеграла в равенстве (4.7) при можно непосредственно интегрировать по приведённой формуле. Для отрицательных значений можно использовать свойство чётности функции автокорреляции и дополнительного интегрирования не проводить.

Рассмотрим функции корреляции процессов на выходах трёх цепей, используемых в настоящей работе, при действии на их входах белого шума с двумерной спектральной плотностью мощности . Принципиальные схемы этих цепей приведены на рис. 2,а, 2,б и 2,в.

Рисунок 2 – Принципиальные схемы цепей,

формирующих случайные процессы ,

Выражения для коэффициентов передачи и импульсных реакций указанных цепей имеют вид:

1) для одиночной RC-цепи коэффициент передачи

(4.8)

где – постоянная времени цепи (рис. 2,а),

импульсная характеристика

, (4.9)

2) для двухзвенной RC-цепи коэффициент передачи

(4.10)

где – постоянная времени одного звена двухзвенной RC-цепи (рис. 2,б);

импульсная характеристика

, _; (4.11)

3) для RLC-цепи коэффициент передачи

, (4.12)

где , ;

импульсная характеристика

_, (4.13)

где .

В равенстве (4.13) предполагается, что потери энергии в цепи, схема которой представлена на рисунке 2,в, невелики и выполняется неравенство .

Применением временного метода можно получить следующие выражения для нормированных функций корреляции процессов , и на выходах приведённых на рисунке 4.2 схем электрических цепей, если на их входах действует белый шум:

Нормированная функция корреляции процесса :

_. (4.14)

Нормированная функция корреляции процесса :

_. (4.15)

Нормированная функция корреляции процесса :

_. (4.16)

Одной из особенностей линейных цепей с ограниченными по частоте характеристиками является так называемая нормализация случайного процесса на выходе цепи. При нормализации некоторое произвольное распределение случайного процесса на входе цепи при прохождении через неё преобразуется в гауссовое распределение, причём чем меньше величина , тем уровень нормализации выше.