Лабораторные работы № 6,7,8,9
Тема: «Численное дифференцирование и интегрирование»
Лабораторная работа №6. Вычислить значение производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Лагранжа.
Вычислить аналитически, с помощью прикладного программного пакета MathCAD и с помощью программы, составленной на языке программирования Паскаль интеграл от заданной функции f(x) на отрезке при делении отрезка на 30 равных частей тремя методами:
Лабораторная работа №7: метод трапеций;
Лабораторная работа №8: метод Симпсона;
Лабораторная работа №9: метод средних прямоугольников.
Произвести оценку погрешности методов интегрирования и сравнить точность полученных результатов.
Пояснение к выполнению лабораторных работ
Исходные данные к выполнению Лабораторной работы №6 берутся из таблицы заданий 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, которые выбираются в соответствии с номером варианта по таблице заданий 3. Участок таблицы для дифференцирования, значение аргумента х, задаются преподавателем.
Исходные данные для выполнения Лабораторных работ №7,8,9 берутся из таблицы заданий 1. Отрезок интегрирования разбивается на 30 равных частей и производится ручное вычисление интеграла по формулам трапеций, прямоугольников, Симпсона. Для расчетов по формулам трапеций рекомендуется составить единую таблицу значений подынтегральной функции по схеме:
-
X
yi/2 (i = 0,30)
yi (i= 1, 2, 3, ….,29)
2yi ( i= 1, 3, 5, 7,...,29 )
По каждому из трех столбцов таблицы находятся суммы соответствующих значений подынтегральной функции (при этом по столбцу yi для формулы трапеций находится сумма всех элементов столбца, а для Симпсона – только с четными индексами). Вычисления ведутся с максимально возможной точностью вычислительного прибора или инструмента.
Для оценки точности методов использовать оценочные формулы:
для метода трапеций:
,
где
.для метода Симпсона:
,
где
Их применение предполагает соответственно второй и четвертой производной подынтегральной функции на отрезке . В случае, когда исследование общими методами оказывается слишком затруднительным, можно воспользоваться табулированием указанных производных на отрезке с подходящим шагом на ЭВМ (по необходимости такая таблица может локально уплотняться на экстремальных участках отрезка ).
Проанализировать полученные результаты, сделать вывод.
Таблица 1
Вариант |
F(x) |
а |
b |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
0,5+x lg x |
1 |
2 |
3 |
(x+1,9)sin(x/3) |
1 |
2 |
4 |
|
2 |
3 |
5 |
|
0 |
1 |
6 |
(2x+0,6)cos(x/2) |
1 |
2 |
7 |
2,6x2lnx |
1.2 |
2.2 |
8 |
(x2+1)sin(x-0,5) |
0.5 |
1.5 |
9 |
x2cos(x/4) |
2 |
3 |
10 |
|
3 |
4 |
11 |
3x+lnx |
1 |
2 |
12 |
|
-1
|
0
|
13
|
3x2+ tq x |
-0.5 |
0.5 |
14 |
|
0 |
1 |
15 |
3xecosx |
0.2 |
1.2 |
16 |
x2tq |
1.5 |
2.5 |
17 |
|
0.1 |
1.1 |
18 |
3,1xln2x |
1.4 |
2.4 |
19
|
(x-0,8)ln |
2.3
|
3.3
|
20
|
(x-3,1)etqx |
0
|
1
|
21 |
|
-1 |
1 |
22
|
|
0
|
4
|
23
|
|
1
|
5
|
24
|
|
1
|
5
|
25
|
|
-2
|
2
|
26
|
|
-1
|
1
|
27
|
|
0
|
2
|
28
|
|
-2
|
2
|
29
|
|
-2
|
2
|
30
|
|
1
|
3 |
31 |
|
0 |
3 |
32 |
|
0 |
1 |
33 |
|
1 |
2 |
34 |
|
2 |
3 |
35 |
|
0 |
0,5 |
36 |
|
1,2 |
2,2 |
37 |
|
0,5 |
1,5 |
38 |
|
2 |
3 |
39 |
|
1 |
2 |
40 |
|
-0,5 |
0,5 |
41 |
|
0,1 |
1,1 |
42 |
|
-2 |
0 |
43 |
|
0 |
1 |
44 |
|
3 |
5 |
45 |
|
2 |
3 |
46 |
|
-1 |
0 |
47 |
|
0 |
3 |
48 |
|
0 |
5 |
49 |
|
-3 |
-1 |
50 |
|
0 |
1 |
51 |
|
4 |
5 |
52 |
|
0 |
3 |
53 |
|
0,1 |
1,1 |
54 |
|
1 |
2 |
55 |
|
1,5 |
2,5 |
56 |
|
1 |
7 |
57 |
|
|
|
58 |
|
0 |
1 |
59 |
|
0 |
9 |
60 |
|
4 |
10 |
x |
cosx |
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 |
0.99375 0.99500 0.99877 0.98007 0.96891 0.95534 0.93937 0.92106 0.90045 0.87758 0.85252 |
x |
sinх |
0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 |
0.56464 0.60519 0.64422 0.68164 0.71736 0.75128 0.78333 0.81342 0.84147 0.86742 0.89121 |
x |
sinx |
1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 |
0.89121 0.91276 0.93204 0.94898 0.96356 0.97572 0.98545 0.99271 0.99749 0.99973 0.99957 |
Таблица 2.4.
x |
cosx |
1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 |
0.54090 0.49757 0.45360 0.40849 0.36236 0.31532 0.26750 0.21901 0.16997 0.12050 0.07074 |
Таблица 3
Номер варианта |
Таблица |
Номер варианта |
Таблица |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
|
2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2
|
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 |
2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 |