- •Печатается по решению кафедры математического анализа и геометрии
- •Содержание
- •Предисловие
- •Введение
- •§1. Понятие кривой, ее гладкость и параметризации
- •§2. Касательная к кривой на плоскости и в пространстве. Угол между кривыми. Нормаль к кривой на плоскости и нормальная плоскость
- •§3. Сопровождающий трехгранник кривой (трехгранник Френе)
- •§4. Длина кривой. Естественная параметризация кривой.
- •§5. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.
- •§6.Кинематический смысл кривизны и кручения
- •§7. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации.
- •§8. Задачи с решениями.
- •1. Доказать эквивалентность двух параметризованных кривых
- •3. Кривая в пространстве задана одним из способов: параметрически или в виде пересечения поверхностей. Выяснить расположение кривой в пространстве и по возможности нарисовать ее.
- •4. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
- •5. Найти угол между кривыми в точке их пересечения:
- •6. Напишите уравнение касательной прямой и нормальной плоскости кривой , заданной параметрически в трехмерном пространстве, при :
- •7. Кривая задана как пересечение двух поверхностей:
- •8. Найти векторы канонического репера кривой
- •9. Кривая задана параметрическими уравнениями
- •10. Найти точки на кривой , в которых бинормаль параллельна плоскости .
- •11. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости
- •12. Даны параметрические уравнения двух кривых на плоскости или в пространстве, проходящих через общую точку. Определить порядок касания кривых в этой точке.
- •14. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Записать кривую через натуральный параметр s. Выяснить длину вектора r’(s) и направление вектора r”(s).
- •16. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Найти кривизну и кручение кривой, не переходя к натуральному параметру.
- •§ 9. Задачи для самостоятельного решения.
- •§ 10. Тестовая работа по дифференциальной геометрии кривых
- •Вариант ab.
- •§ 11. Методические указания по изучению темы дифференциальная геометрия поверхностей в трехмерном пространстве.
- •Тема 1. Способы задания поверхностей. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Задать ее другими оставшимися способами.
- •Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
- •Тема 2. Касание поверхностей.
- •Даны параметрические уравнения поверхности. Найти какую-нибудь поверхность, имеющую с данной поверхностью в данной точке касание 1, 2, 3 порядка.
- •Даны параметрические уравнения двух поверхностей, проходящих через общую точку. Определить порядок касания поверхностей в этой точке.
- •Тема 3. Первая квадратичная форма поверхности.
- •Поверхность задана параметрически. Найти первую квадратичную форму поверхности.
- •С помощью первой квадратичной формы найти длину кривой на поверхности, угол между кривыми и площадь области на поверхности.
- •Тема 4. Вторая квадратичная форма поверхности. Полная и средняя кривизны поверхности.
- •Тема 5. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Гауссова и средняя кривизны поверхности.
- •§ 12. Содержание курса Дифференциальная геометрия
- •2. Теория кривых в евклидовом пространстве
- •3. Теория поверхностей в евклидовом пространстве
- •Литература
4. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
Найти уравнения касательной, удовлетворяющей некоторому условию.
Решение задачи для кривой, заданной параметрически.
В качестве примера кривой, заданной параметрически, рассмотрим кривую с радиус-вектором
(t)={at cos t, bt sin t}, a, b , .
1) Напишем уравнение касательной, проходящей через точку кривой при .
Уравнение касательной запишем сначала, например, в параметрическом виде. Для этого надо знать координаты точки кривой и направляющего вектора касательной.
Координаты точки кривой равны координатам вектора
В качестве искомого вектора возьмем касательный вектор к кривой
,
при
Параметрическое уравнение касательной прямой имеет вид
или
Общее уравнение касательной прямой можно найти из равенства
2) Напишем уравнение нормали к кривой, проходящей через точку при .
В качестве направляющего вектора нормали возьмем вектор
Мы выбираем вектор нормали так, чтобы скалярное произведение Напомним, что на плоскости задана прямоугольная система координат.
Уравнение нормали запишем в параметрическом виде
или
Из параметрического уравнения нетрудно получить общее уравнение нормали.
Решение задачи для кривой, заданной неявно.
В качестве примера кривой, заданной неявно, рассмотрим эллипс с уравнением или где
Напишем уравнение нормали, проходящей через точку .
В качестве направляющего вектора нормали возьмем вектор . Для этого найдем и вычислим его координаты в точке
.
Уравнение нормали к кривой в точке запишем в параметрическом виде
или
.
Это уравнение оси Oу.
2) Напишем уравнение касательной прямой как уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору : .
Получим
или
.
Решение задачи для кривой, заданной графиком функции.
Пусть поверхность задана в виде зависимости .
Тогда ее можно записать как параметрически
,
взяв в качестве параметра t координату x,
так и неявно
Мы свели задачу к рассмотренным случаям.
Заметим, что уравнение касательной можно искать также в виде , а уравнение нормали – в виде при .
5. Найти угол между кривыми в точке их пересечения:
а) и ,
б) и .
Решение.
Найдите точку пересечения кривых. Угол между кривыми – это угол между касательными к ним в точке пересечения. Воспользуйтесь формулой , где и – касательные векторы к кривым в точке их пересечения.
6. Напишите уравнение касательной прямой и нормальной плоскости кривой , заданной параметрически в трехмерном пространстве, при :
.
Определите класс гладкости кривой.
Решение.
Чтобы определить класс гладкости кривой , выясним классы гладкости координатных функций . Так как функции , , являются аналитическими, то координатные функции являются аналитическими как произведения аналитических функций. Следовательно, кривая аналитическая.
Найдем уравнение касательной кривой в точке . При получаем точку кривой с координатами .
Найдем координаты вектора скорости кривой :
.
При получаем: . Имеем уравнение касательной в точке в параметрическом виде:
Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору запишем в виде
. Точка нами уже найдена. Вектор – это вектор скорости кривой в точке также уже найден: . Получаем уравнение нормальной плоскости
, или .