14. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Записать кривую через натуральный параметр s. Выяснить длину вектора r’(s) и направление вектора r”(s).

.

Замечание. Данную задачу также формулируют как нахождение естественной параметризации кривой.

Решение.

Касательный вектор к кривой .

Его длина равна .

Натуральный параметр введем, например, от точки

. Следовательно, .

Уравнениями винтовой линии в естественной параметризации будут уравнения

.

Значению соответствует точка винтовой линии с координатами .

15. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Записать кривую через натуральный параметр s. Найти векторы скорости, главной нормали и бинормали, выраженные через натуральный параметр.

Найти кривизну и кручение кривой, используя натуральный параметр.

16. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Найти кривизну и кручение кривой, не переходя к натуральному параметру.

Решение задачи 15.

В качестве примера рассмотрим кривую

,

и в точке найдем для нее кривизну и кручение.

Приведенное ниже решение является одним из способов нахождения единичных векторов касательной, нормали и бинормали кривой в фиксированной точке через натуральный параметр кривой.

Найдем кривизну и кручение кривой как длины векторов ускорения и производной от бинормали кривой в естественной параметризации.

Радиус-вектор кривой .

Введем на кривой натуральный параметр , начиная от произвольной точки кривой , например, от :

.

Касательный вектор кривой .

Длина касательного вектора

.

Следовательно, и .

Кривая в естественной параметризации имеет вид

.

Найдем кривизну кривой.

Вектор скорости кривой

,

вектор ускорения кривой

.

В точке натуральный параметр и .

Кривизна кривой .

В точке

.

Найдем кручение кривой .

Единичный вектор главной нормали

.

Единичный вектор бинормали

Производная от вектора бинормали

.

В точке

.

Кручение кривой , в точке .

Это означает, что кривая плоская.

Решение задачи 16.

Вычислить кривизну и кручение кривой можно и не переходя к естественной параметризации по формулам

.

Вычисляем

, ,

, .

При

.

Вычисляем

,

,

,

.

Следовательно, , .

§ 9. Задачи для самостоятельного решения.

9.1. Трактриса задана отображением :

,

где - трехмерное евклидово пространство.

Определить класс гладкости . Является ли трактриса плоской кривой?

2. Для плоских кривых

проверить эквивалентность при и при .

9.3. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Задать ее другими оставшимися способами. Выяснить расположение кривой на плоскости и нарисовать ее.

а) при ;

б) при ;

в) при ;

г) при ;

д) ;

е) , (кардиоида);

ж) , (спираль Архимеда);

з) .

9.4. Показать, что кривая ,

лежит на сфере.

9.5. Циклоидой называется плоская линия, которую описывает точка А окружности, катящейся без скольжения в плоскости (xOy) по неподвижной прямой (оси Ox). Написать параметрические уравнения циклоиды.

9.6. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.

а) при

б) при ;

в) при ;

г) при , ;

д) ;

е) кривые 2 порядка на плоскости, заданные каноническими уравнениями;

ж) при (циклоида);

з) (декартов лист);

и) (лемниската Бернулли);

к) ;

л) элементарные функции от одной переменной в произвольной точке из области определения.

Замечание. В пунктах з)-к) точки на кривых подберите самостоятельно.

9.7. В каких точках касательная к параболе перпендикулярна прямой ; параллельна этой прямой?

9.8. Найти угол между кривыми в точке их пересечения

а)

б) .

9.9. Найти длины кривых из задачи 9.6 а) - ж), л) от до .

9.10. Найти кривизны кривых из задачи 9.6 а)-е), к) в указанных точках. Можно ли для данных кривых указать точки, в которых кривизна достигает своего максимального и минимального значений?

9.11. Напишите уравнение касательной прямой и нормальной плоскости, бинормали, главной нормали, соприкасающейся и спрямляющей плоскостей кривой , заданной параметрически в трехмерном пространстве, в указанной точке. Определите класс гладкости кривой.

а) ;

б) ;

в) ;

г) , - любая точка кривой;

д) , - любая точка кривой;

е) , - любая точка кривой.

9.12. Написать уравнение касательной прямой и нормальной плоскости, бинормали, главной нормали, соприкасающейся и спрямляющей плоскостей кривой , заданной как пересечение двух неявно заданных поверхностей, в точке :

а) , ;

б) , .

9.13. Найти длины кривых из задачи 9.11 от до . Значения и подберите сами.

9.14 Найти кривизну и кручение кривой , где в ее произвольной точке.

9.15. Найти координатные векторы канонического репера кривых из задачи 9.11 в указанных точках.