- •Печатается по решению кафедры математического анализа и геометрии
- •Содержание
- •Предисловие
- •Введение
- •§1. Понятие кривой, ее гладкость и параметризации
- •§2. Касательная к кривой на плоскости и в пространстве. Угол между кривыми. Нормаль к кривой на плоскости и нормальная плоскость
- •§3. Сопровождающий трехгранник кривой (трехгранник Френе)
- •§4. Длина кривой. Естественная параметризация кривой.
- •§5. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.
- •§6.Кинематический смысл кривизны и кручения
- •§7. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации.
- •§8. Задачи с решениями.
- •1. Доказать эквивалентность двух параметризованных кривых
- •3. Кривая в пространстве задана одним из способов: параметрически или в виде пересечения поверхностей. Выяснить расположение кривой в пространстве и по возможности нарисовать ее.
- •4. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
- •5. Найти угол между кривыми в точке их пересечения:
- •6. Напишите уравнение касательной прямой и нормальной плоскости кривой , заданной параметрически в трехмерном пространстве, при :
- •7. Кривая задана как пересечение двух поверхностей:
- •8. Найти векторы канонического репера кривой
- •9. Кривая задана параметрическими уравнениями
- •10. Найти точки на кривой , в которых бинормаль параллельна плоскости .
- •11. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости
- •12. Даны параметрические уравнения двух кривых на плоскости или в пространстве, проходящих через общую точку. Определить порядок касания кривых в этой точке.
- •14. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Записать кривую через натуральный параметр s. Выяснить длину вектора r’(s) и направление вектора r”(s).
- •16. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Найти кривизну и кручение кривой, не переходя к натуральному параметру.
- •§ 9. Задачи для самостоятельного решения.
- •§ 10. Тестовая работа по дифференциальной геометрии кривых
- •Вариант ab.
- •§ 11. Методические указания по изучению темы дифференциальная геометрия поверхностей в трехмерном пространстве.
- •Тема 1. Способы задания поверхностей. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Задать ее другими оставшимися способами.
- •Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
- •Тема 2. Касание поверхностей.
- •Даны параметрические уравнения поверхности. Найти какую-нибудь поверхность, имеющую с данной поверхностью в данной точке касание 1, 2, 3 порядка.
- •Даны параметрические уравнения двух поверхностей, проходящих через общую точку. Определить порядок касания поверхностей в этой точке.
- •Тема 3. Первая квадратичная форма поверхности.
- •Поверхность задана параметрически. Найти первую квадратичную форму поверхности.
- •С помощью первой квадратичной формы найти длину кривой на поверхности, угол между кривыми и площадь области на поверхности.
- •Тема 4. Вторая квадратичная форма поверхности. Полная и средняя кривизны поверхности.
- •Тема 5. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Гауссова и средняя кривизны поверхности.
- •§ 12. Содержание курса Дифференциальная геометрия
- •2. Теория кривых в евклидовом пространстве
- •3. Теория поверхностей в евклидовом пространстве
- •Литература
§6.Кинематический смысл кривизны и кручения
С каждой точкой М кривой в трехмерном пространстве связан вполне определенный сопровождающий трехгранник образованный единичными векторами касательной, главной нормали и бинормали, исходящими из этой точки кривой. Из построения сопровождающего трехгранника следует, что его ориентация в любой точке кривой совпадает с ориентацией трехмерного пространства. Следовательно, различные положения трехгранника можно рассматривать как перемещение твердого тела вдоль кривой.
Естественно выбрать наиболее простое движение по кривой – движение с постоянной по модулю скоростью, равной единице. В этом случае пройденный путь s равняется протекшему времени, то есть параметр s можно понимать как время.
Всякое перемещение твердого тела разложимо на два элементарных движения: а) параллельный перенос, когда все точки тела описывают равные векторы и б) поворот около неподвижной оси.
Выпишем основные уравнения теории кривых:
(6.1)
Скорость поступательного движения его вершины М в момент времени s равна последние три уравнения в (6.1) определяют линейные скорости точек, расположенных в концах единичных векторов
Пусть и - два произвольных вектора, закрепленных в точке M, причем вектор - единичный. Пусть вектор вращается вокруг вектора . Пусть - линейная скорость конца вектора . Тогда .
Следовательно, считая вектором угловой скорости, имеем
(6.2)
Пусть вектор , где . Подставляя это выражение в (6.2), получим
(6.3)
Сравнивая (6.1) и (6.3), получим
Следовательно, для вектора угловой скорости
.
Перепишем в более удобном для нас виде
. (6.4)
Итак, вектор угловой скорости разлагается на две компоненты - и . Первой из них соответствует вращение трехгранника в соприкасающейся плоскости вокруг бинормали с угловой скоростью , а второй из них – вращение в нормальной плоскости вокруг касательной с угловой скоростью .
В соответствии с этим представлением формулы Френе можно разбить на две группы формул:
В первом движении вектор бинормали постоянен. Во втором вращении постоянным является вектор касательной . Ось, на которой лежит вектор , является мгновенной осью вращения. Таким образом:
Главная нормаль – единственная прямая, по которой компоненты скорости вращения трехгранника Френе равны нулю.
Кривизна k - компонента скорости вращения вокруг бинормали.
Кручение равно с противоположным знаком компоненте скорости вращения вокруг касательной.
Если кривая плоская, то мы имеем мгновенное поступательное движение и мгновенное вращение, происходящие в плоскости кривой (соприкасающейся плоскости).
§7. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации.
Пусть - гладкая кривая в пространстве .
Пусть r (t) - одна из - гладких параметризаций кривой :
Рассмотрим функцию замены параметра , где s – натуральный параметр.
Выведем формулу для кривизны кривой.
Для этого вычислим
,
Из последнего равенства видно, что вектор параллелен соприкасающейся плоскости, порожденной векторами и .
Естественно ожидать, что векторное произведение коллинеарно бинормали :
Взяв последнее равенство по модулю, получим ( ):
Следовательно,
(7.1)
Для кривой на плоскости из формулы (7.1) получаем
. (7.2)
2. Для получения формулы для кручения найдем разложение вектора по векторам :
Так как
то
где числа и обозначают коэффициенты при и .
Найдем смешанное произведение
Подставляя в это выражение формулу (7.1) и выражая , получим
(7.3)
Формулу (7.3) можно получить и другим способом.
Возьмем формулу (5.5)
Вычислим
Пользуясь свойствами смешанного произведения, найдем
(7.4)
Подставляя (7.1) и (7.4) в (5.5), получим (7.3).
Замечание 7.1. Когда мы переходим от к и наоборот, мы имеем в виду значения параметров s и t, соответствующие друг другу при замене параметра и