10. Найти точки на кривой , в которых бинормаль параллельна плоскости .

Решение.

Радиус-вектор кривой .

Касательный вектор кривой (вектор скорости) .

Вектор ускорения кривой

В качестве направляющего вектора бинормали возьмем вектор . Его координаты

.

Условие параллельности прямой с направляющим вектором и плоскости есть . В нашем случае имеем , или .

Получаем или .

При значении параметра кривая не определена.

При точка кривой имеет координаты .

11. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости

.

Найти какую-нибудь кривую, имеющую с данной кривой в данной точке касание 1, 2, 3 порядка.

Решение.

Рассмотрим всевозможные кривые, имеющие с данной кривой в точке касание 1-го порядка. Если задать такие кривые в окрестности точки параметрически с помощью натурального параметра, то их разложение в ряд Тейлора в окрестности точки имеет одинаковые члены нулевого и первого порядка. Следовательно, все такие кривые имеют общую касательную в окрестности точки . В частности, такой кривой является сама касательная. Теперь рассмотрим всевозможные кривые, имеющие с данной кривой в точке касание 2-го порядка. Их разложение в ряд Тейлора в окрестности точки имеет одинаковые члены до второго порядка включительно. В частности, если кривая задана параметрически , то, не переходя к натуральному параметру, можно сказать, что, например, искомой кривой является кривая , где

В качестве и мы взяли в точности первые три члена в разложении Тейлора для функций , в окрестности точки .

Разложим в ряд Тейлора функции , . Нам достаточно первых трех членов разложения.

При имеем:

Следовательно, для

имеем:

Рассмотрим кривую : . В точке она имеет с кривой касание 2-го порядка.

Задание. Покажите, что кривая является параболой.

12. Даны параметрические уравнения двух кривых на плоскости или в пространстве, проходящих через общую точку. Определить порядок касания кривых в этой точке.

Решение.

Записать кривые через натуральный параметр.

Разложить радиус-векторы кривых в ряд в окрестности общей точки и сравнить члены этих рядов.

13. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Найти длину кривой от одного значения параметра до другого. Нахождение значений параметров может быть самостоятельной дополнительной задачей.

а) Найти длину астроиды .

Решение.

Длина кривой от значения параметра до вычисляется по формуле , где – радиус-вектор кривой.

В случае астроиды

,

.

Длина касательного вектора

.

Астроида симметрична относительно осей координат, следовательно,

б) Найти длину дуги винтовой линии

,

от точки пересечения с плоскостью до произвольной точки кривой.

Решение.

При пересечении с плоскостью координата , следовательно, .

Касательный вектор к кривой .

Длина кривой от точки пересечения с плоскостью до любой точки кривой равна

в) Найти длину замкнутой кривой

.

Решение.

Касательный вектор к кривой

.

Его длина равна

Находим длину замкнутой кривой

.

г) Найти длину дуги кривой, заданной как пересечение двух плоскостей

между плоскостями и .

Решение.

Зададим кривую параметрически, выбрав за параметр координату : .

Выясним, чему равно значение параметра при пересечении кривой с плоскостями и . Из следует , из следует .

Касательный вектор к кривой .

Искомая длина кривой

=9а.