Введение

Замечательные геометрические объекты – кривые линии привлекают внимание изяществом формы и своими удивительными свойствами. Изучение всевозможных линий проводится не только из-за стремления к прекрасному, но и для удовлетворения практических потребностей. Архитектура, теория механизмов и, вообще, машиностроение, геодезия, исследование космических просторов, черчение, теоретическая физика, химия, естественные науки – вот далеко неполный перечень различных областей приложений теории плоских и пространственных кривых.

Наряду с окружностью заслуженными «старожилами» в математике являются конические сечения (коники) – эллипс, парабола и гипербола. Коники были глубоко и подробно исследованы уже в 1V веке до нашей эры. Решая задачу об удвоении куба, древнегреческий математик Менехм задался вопросом: какие кривые предстанут нашему взору, если разрезать конус различными плоскостями. Конические сечения относятся к линиям второго порядка, и изучаются в курсе аналитической геометрии.

Рисунок 1. Эллипс, парабола, гипербола.

Школьник и студент задумываются об аналитических свойствах кривых линий, проводя исследование функций с помощью графиков. При этом чаще всего используются прямоугольная декартова и полярная системы координат на плоскости.

Исследование линий началось задолго до изобретения Рене Декартом координатного метода, согласно которому каждой точке плоскости сопоставляются два числа (координаты), каждой плоской линии – уравнение, связывающее текущие координаты. В трехмерном пространстве положение каждой точки задается тремя координатами, а пространственная линия определяется системой двух уравнений.

До нашей эры кривые изучались синтетическими методами. Новый импульс и пробуждение интереса к исследованию геометрии кривых привнесла эпоха возрождения. Здесь стоит еще раз отметить метод координат – «оцифровка» пространства, и зарождение начертательной геометрии.

К классическим линиям на плоскости относятся циссоида Диоклеса, имеющая уравнение в полярной системе координат (рис.2), квадратриса, или кривая Гипия – Динострата с уравнением в полярной системе координат (рис.3), овалы Кассини (рис.4), определяемые в декартовой системе координат уравнением (частный случай – лемниската Бернулли), циклоида (Рис.7, параметрические уравнения: , ), гипоциклоиды: дельтоида (кривая Штейнера), кардиоида (сердцевидная кривая) (рис.5, уравнение: в полярной системе координат), астроида (рис.6, параметрические уравнения в декартовой системе координат: , ); улитка Паскаля с уравнением в декартовой системе координат (рис.8), трохоиды, цепная линия, спирали, например, спираль Архимеда, определяемая уравнением в полярной системе координат (Рис.9); Декартов лист и так далее. Некоторые из этих кривых изображены на следующих рисунках.

Рисунок 2. Циссоида Рисунок 3. Квадратрисса

Рисунок 4. Овалы Кассини

Рисунок 5. Кардиоида Рисунок 6. Астроида

Рисунок 7. Циклоида

Рисунок 8. Улитка Паскаля Рисунок 9. Спираль Архимеда

Систематическое приложение методов математического анализа к исследованию свойств кривых линий приводит к глубокой и содержательной теории. При написании этого пособия авторы не стремились объять необъятное, и ограничились обсуждением первичных понятий, необходимых для дальнейшего овладения предметом. Многие геометрические теоремы приведены без доказательства, здесь мы отсылаем читателя к изучению серьезных учебников (смотри список литературы). Подробный разбор типовых задач, как нам кажется, поможет студентам закрепить теоретический материал и в какой-то мере научит самостоятельному исследованию геометрических проблем.