Тема 2. Касание поверхностей.
Практические задания
Даны параметрические уравнения поверхности. Найти какую-нибудь поверхность, имеющую с данной поверхностью в данной точке касание 1, 2, 3 порядка.
Решение.
Разложить радиус-вектор поверхности в ряд Тейлора в окрестности данной точки. Рассмотрим поверхности, имеющую все члены до 1, 2, 3 порядка такие же как у данной поверхности.
Заметим, что первая из полученных поверхностей является касательной плоскостью.
Решить аналогичную задачу для любых поверхностей, заданных параметрически.
Даны параметрические уравнения двух поверхностей, проходящих через общую точку. Определить порядок касания поверхностей в этой точке.
Решение.
Разложим радиус-векторы поверхностей в ряд и сравним члены одинакового порядка. При совпадении всех членов до к-го порядка включительно считаем, что поверхности имеют касание к-го порядка.
Тема 3. Первая квадратичная форма поверхности.
Практические задания
Поверхность задана параметрически. Найти первую квадратичную форму поверхности.
Обсудить ее геометрический смысл.
Решение.
В качестве примера поверхности рассмотрим цилиндр
(j, z)={R Cosj , R Sinj , z}.
Первая квадратичная форма поверхности с радиус вектором (j, z) – это квадратичная форма
.
В
нашем случае
.
Найдем
Затем найдем коэффициенты первой квадратичной формы.
Имеем
.
Обсуждение.
Равенство нулю коэффициента при
означает ортогональность координатных
линий при данном параметрическом задании
поверхности.
Заметим, что на всех поверхностях вращения можно так выбрать параметры, чтобы координатные линии были в каждой точке ортогональны.
Кроме
того, при замене параметра
на
,
получим квадратичную форму плоскости
.
Это означает локальную изометричность
цилиндра и плоскости. Действительно,
цилиндр получается изгибанием «куска»
плоскости.
Решить аналогичную задачу для поверхностей вращения:
.
Ответ:
.
С помощью первой квадратичной формы найти длину кривой на поверхности, угол между кривыми и площадь области на поверхности.
Обсудить другие способы нахождения тех же величин (без использования первой квадратичной формы).
Цель данного задания – на простых примерах показать использование первой квадратичной формы.
Решение.
Рассмотрим цилиндр
(j, z)={R Cosj , R Sinj , z}.
Первая квадратичная форма цилиндра имеет вид .
В качестве примера кривой на цилиндре возьмем окружность
.
По формуле длины кривой
.
Длину
вектора скорости можно найти и без
использования первой квадратичной
формы конуса. Так как объемлющее
пространство евклидово с прямоугольной
системой координат
и
относительно ортонормированного базиса
,
то
.
Поэтому
С
другой стороны, так как в касательной
плоскости относительно базиса
,
то, используя вид первой квадратичной формы конуса, получаем
.
Поэтому
Проверкой правильности решения является известная формула длины окружности.
Решить аналогичную задачу для поверхностей вращения
:
цилиндра (j, z)={R Cosj , R Sinj , z},
конуса ,
сферы (q, j)={R Sinq Cosj , R Sinq Sinj , R Cosq},
катеноида (u, j)={R Ch u Cosj , R Ch u Sinj , R u};
а также для геликоида (u , v)={u Cos v , u Sin v , k v }.