- •Печатается по решению кафедры математического анализа и геометрии
- •Содержание
- •Предисловие
- •Введение
- •§1. Понятие кривой, ее гладкость и параметризации
- •§2. Касательная к кривой на плоскости и в пространстве. Угол между кривыми. Нормаль к кривой на плоскости и нормальная плоскость
- •§3. Сопровождающий трехгранник кривой (трехгранник Френе)
- •§4. Длина кривой. Естественная параметризация кривой.
- •§5. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.
- •§6.Кинематический смысл кривизны и кручения
- •§7. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации.
- •§8. Задачи с решениями.
- •1. Доказать эквивалентность двух параметризованных кривых
- •3. Кривая в пространстве задана одним из способов: параметрически или в виде пересечения поверхностей. Выяснить расположение кривой в пространстве и по возможности нарисовать ее.
- •4. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
- •5. Найти угол между кривыми в точке их пересечения:
- •6. Напишите уравнение касательной прямой и нормальной плоскости кривой , заданной параметрически в трехмерном пространстве, при :
- •7. Кривая задана как пересечение двух поверхностей:
- •8. Найти векторы канонического репера кривой
- •9. Кривая задана параметрическими уравнениями
- •10. Найти точки на кривой , в которых бинормаль параллельна плоскости .
- •11. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости
- •12. Даны параметрические уравнения двух кривых на плоскости или в пространстве, проходящих через общую точку. Определить порядок касания кривых в этой точке.
- •14. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Записать кривую через натуральный параметр s. Выяснить длину вектора r’(s) и направление вектора r”(s).
- •16. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Найти кривизну и кручение кривой, не переходя к натуральному параметру.
- •§ 9. Задачи для самостоятельного решения.
- •§ 10. Тестовая работа по дифференциальной геометрии кривых
- •Вариант ab.
- •§ 11. Методические указания по изучению темы дифференциальная геометрия поверхностей в трехмерном пространстве.
- •Тема 1. Способы задания поверхностей. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Задать ее другими оставшимися способами.
- •Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
- •Тема 2. Касание поверхностей.
- •Даны параметрические уравнения поверхности. Найти какую-нибудь поверхность, имеющую с данной поверхностью в данной точке касание 1, 2, 3 порядка.
- •Даны параметрические уравнения двух поверхностей, проходящих через общую точку. Определить порядок касания поверхностей в этой точке.
- •Тема 3. Первая квадратичная форма поверхности.
- •Поверхность задана параметрически. Найти первую квадратичную форму поверхности.
- •С помощью первой квадратичной формы найти длину кривой на поверхности, угол между кривыми и площадь области на поверхности.
- •Тема 4. Вторая квадратичная форма поверхности. Полная и средняя кривизны поверхности.
- •Тема 5. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Гауссова и средняя кривизны поверхности.
- •§ 12. Содержание курса Дифференциальная геометрия
- •2. Теория кривых в евклидовом пространстве
- •3. Теория поверхностей в евклидовом пространстве
- •Литература
Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
Решение задачи для поверхности, заданной параметрически.
В качестве примера поверхности, заданной параметрически, опять рассмотрим конус с радиус-вектором
, где .
1) Напишем уравнение касательной плоскости, проходящей через точку конуса при
Уравнение касательной плоскости запишем сначала, например, в параметрическом виде. Для этого надо знать координаты точки плоскости и двух неколлинеарных векторов, компланарных плоскости.
Координаты точки плоскости равны координатам вектора
.
При
В качестве искомых векторов возьмем касательные векторы к координатным линиям.
Для координатной линии -
это вектор ,
при его координаты равны
Для координатной линии -
это вектор ,
при его координаты равны
Параметрическое уравнение касательной плоскости имеет вид
или
Общее уравнение касательной плоскости
или
2) Напишем уравнение нормали к поверхности, проходящей через точку конуса при
В качестве направляющего вектора нормали возьмем векторное произведение касательных векторов к координатным линиям в данной точке
. Нормальный вектор неудобно вычислять в общем виде, лучше сразу подставить координаты:
.
Итак,
Уравнение нормали к поверхности в точке запишем в параметрическом виде
или
Решить аналогичную задачу для поверхностей вращения
:
цилиндра (j, z)={R Cosj , R Sinj , z},
конуса ,
сферы (q, j)={R Sinq Cosj , R Sinq Sinj , R Cosq},
катеноида (u, j)={R Ch u Cosj , R Ch u Sinj , R u};
а также для геликоида (u , v)={u Cos v , u Sin v , k v }.
Решение задачи для поверхности, заданной неявно.
В качестве примера поверхности, заданной неявно, рассмотрим сферу с уравнением или где
1) Напишем уравнение нормали, проходящей через точку сферы.
В качестве направляющего вектора нормали возьмем вектор . Для этого найдем и вычислим его координаты в точке
.
Уравнение нормали к поверхности в точке запишем в параметрическом виде
2) Напишем уравнение касательной плоскости как уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору : .
Получим
или
.
Решить аналогичную задачу для поверхностей 2 порядка, заданных своими каноническими уравнениями.
Решение задачи для поверхности, заданной графиком функции.
Пусть поверхность задана в виде зависимости .
Тогда ее можно записать как параметрически
,
взяв в качестве параметров u ,v координаты х,у,
так и неявно
Мы свели задачу к рассмотренным случаям.
Решить аналогичную задачу для эллиптического и гиперболического параболоидов и для параболического цилиндра