2.3. Угол между прямой и плоскостью

Как известно, прямая может лежать в плоскости, быть параллельна ей и пересекать плоскость.

Если прямая лежит в плоскости или параллельна ей, то угол между ними считается равным нулю.

Прямая, пересекающая плоскость, либо перпендикулярна, либо не перпендикулярна ей.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна либо прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому естественно считать, что угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90°.

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой (прямой, наклонной к плоскости) называется угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

Обозначение угла между прямой а и плоскостью α: (а,α) или (α,а).

Так, на рисунке 25 имеем а α, т.е. (а,α) = 90°, (в, α) = (в,в₁) = φ, где в₁ – проекция прямой в на плоскости α.

У гол между наклонной к плоскости и ее проекцией обладает тем свойством, что он является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в плоскости. Поэтому именно его считают углом между наклонной к плоскости и плоскостью.

Из определений следует, что угол между прямой и плоскостью есть величина, принадлежащая промежутку [0;90°].

При решении задач иногда бывает удобнее найти сначала угол ψ между наклонной к плоскости и прямой, перпендикулярной плоскости (нормалью к плоскости). Тогда искомый угол φ равен 90°- ψ.

2.4. Двугранный угол

Аналогом угла на плоскости является двугранный угол в пространстве.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей, не лежащими в одной плоскости. Общая граница полуплоскостей называется ребром двугранного угла. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.

Если полуплоскости α и β – грани двугранного угла и а – его ребро, то двугранный угол можно обозначить так: αаβ. Если то тот же двугранный угол можно обозначить ABCD или αCDβ.

Пусть дан двугранный угол αCDβ (рис. 26).

Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку (О) и в каждой грани проведем с началом в этой точке луч перпендикулярно к ребру (ОА и ОВ). Угол, образованный этими лучами ( ) называется линейным углом двугранного угла.

Так как ОА СD и ОВ CD, то плоскость АОВ перпендикулярна прямой CD. Таким образом, плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.

Очевидно, что двугранный угол имеет бесконечно много линейных углов. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его величина (градусная мера) равна 90° (меньше 90°, больше 90°).

Величина двугранного угла принимает значения из интервала (0°;180°).

2.5. Угол между плоскостями

Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются.

Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°.

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром. Если величина одного из углов равна φ, то остальные три угла равны 180°- φ, φ и 180°- φ. Если один из углов равен 90° (прямой), то и остальные три угла прямые.

Углом между пересекающимися плоскостями называется величина двугранного угла, не превосходящая величин каждого из остальных двугранных углов, образовавшихся при пересечении плоскостей.

Угол между плоскостями α и β будем обозначать так (α,β). Из определений следует, что (α,β) .

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.

Согласно приведенным определениям угол между пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения.

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.

Для параллельных плоскостей сформулированное утверждение очевидно. Докажем его справедливость для пересекающихся плоскостей.

Рис. 27

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой т, прямые а и в лежат соответственно в α и β, перпендикулярны к прямой т и проходят через точку М этой прямой. Проведем через точку М прямые а₁ α и в₁ . Тогда а₁ т и в₁ т, т.е. все четыре прямые (а, а₁, в, в₁) лежат в одной плоскости λ, проходящей через точку М и перпендикулярной прямой т (рис. 27).

При повороте плоскости λ с центром М и с углом 90° прямые а и в отображаются на а₁ и в₁ соответственно. Тогда, по свойству движений сохранять углы, (а₁,в₁) = (а,в) = (α,β).

Подводя итог рассмотрению теоретических положений, можно сделать следующие выводы. Любой угол в пространстве в конечном итоге находится как угол между двумя лучами или между двумя прямыми., а угол между прямыми определяется так же через угол между лучами.

Пусть при нахождении некоторого угла угол между лучами оказался равным φ. Тогда если искомый угол и есть угол между лучами или линейный угол двугранного угла, то он равен φ. Если же искомый угол есть угол между прямыми или плоскостями, то он равен φ, если , и равен 180°- φ, если 90°< φ ≤180°.