Примерный тематический план изучения темы

№ п/п	Тема занятия	Число часов
1	Понятие расстояния между фигурами. Определения различных видов расстояний в пространстве: от точки до прямой и до плоскости, между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями	1
1-2	Различные методы решения задачи на нахождение расстояний (конструктивный, координатный, векторно-координатный, метод объемов)	3
3	Понятие угла между лучами, между векторами, между прямыми, между прямой и плоскостью, двугранного угла, угла между плоскостями	1
3-4	Методы решения задач на вычисление различных видов углов (конструктивный, векторный, векторно-координатный, координатный)	3
5-6	Решение задач на нахождение различных видов расстояний и углов	4
7	Контрольная работа	2

Требования к знаниям и умениям студентов

Цель изучения: формирование умений в вычислении различных видов расстояний между точками, прямыми и плоскостями и различных видов углов между прямыми и плоскостями.

В результате изучения темы студент

знает:

- что такое расстояние между фигурами;

- определения различных видов расстояний в пространстве (от точки до прямой и до плоскости, между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями);

- определения различных видов углов в пространстве (между лучами, векторами, прямыми, прямой и плоскостью, двугранного угла, угла между плоскостями);

- о существовании единственного общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых;

- способы построения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых;

- различные методы решения задач на вычисление различных видов расстояний и углов (конструктивный, векторный, координатный, векторно-координатный, метод объемов) и планы решения задач данными методами;

умеет:

- вычислять различными методами расстояния:

• от точки до прямой и до плоскости,

• между прямой и параллельной ей плоскостью,

• между параллельными и скрещивающимися прямыми,

• между параллельными плоскостями,

если названные объекты задаются элементами пирамиды и призмы (в частности, их вершинами, ребрами, диагоналями граней и диагоналями самих многогранников);

- вычислять различными методами углы между лучами, векторами, прямыми, прямой и плоскостью, двугранные углы, углы между плоскостями, если названные объекты задаются элементами пирамиды и призмы (в частности, их ребрами, диагоналями граней и диагоналями самих многогранников).

§ 1. Вычисление расстояний в курсе стереометрии

1.1. Различные виды расстояний в пространстве

Раскроем содержание понятия расстояния между фигурами.

Рассмотрим две фигуры F₁ и F₂.

1) Если они имеют хотя бы одну общую точку, то расстояние между ними равно нулю.

2) Если же фигуры не имеют общих точек, то рассматриваются всевозможные расстояния между каждой точкой фигуры F₁ и каждой точкой фигуры F₂. Наименьшее из этих расстояний (если оно существует) принимается за расстояние между фигурами F₁ и F₂.

Обозначение: ρ (F₁; F₂).

Например, 1) если плоскость касается сферы или ее пересекает, то расстояние между сферой и плоскостью равно нулю; 2) если плоскость не имеет общих точек со сферой, то расстояние между ними в этом случае равно разности длины перпендикуляра, проведенного из центра сферы к данной плоскости, и радиуса самой сферы.

Бывает, что между двумя фигурами нет расстояния. Например, если рассмотреть в качестве фигур непересекающиеся шары без сфер – «оскальпированные» шары [4]. В школьном курсе геометрии с подобными фигурами не имеют дела, но за его пределами и в таком случае можно ввести понятие расстояния между двумя фигурами как точной нижней границы всевозможных расстояний между точками этих фигур.

Расстояние между двумя фигурами нелегко найти. Например, найти расстояние между двумя кругами, расположенными в перпендикулярных плоскостях.

Иногда встречается такая речевая неточность: говорят о «кратчайшем расстоянии между двумя фигурами», предполагая, что таких расстояний много, и надо найти наименьшее из них. Но из вышеприведенного описания понятия расстояния между двумя фигурами следует: расстояния между двумя фигурами (если оно существует), то оно определено однозначно, хотя может достигаться и не один раз (например, расстояние между параллельными плоскостями).

Заметим, что в математике расстояние – это число, но в приложениях или в школьных задачах оно может пониматься и как величина, потому может иметь размерность. Следовательно, можно сказать: «Расстояние равно 5» или «Расстояние равно5 см».

Среди геометрических задач чаще встречаются такие, в которых требуется найти расстояния между точками, точкой и прямой, точкой и плоскостью, прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями. Исходя из содержания понятия расстояния между двумя фигурами, определим понятия расстояний между перечисленными выше объектами.

Расстояние от точки до прямой:

1. Если точка принадлежит прямой, то расстояние между ними равно нулю.

2. Если точка не принадлежит прямой, то расстояние между ними равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой.

Расстояние от точки до плоскости:

1. Если точка принадлежит плоскости, то расстояние в этом случае равно нулю.

2. Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние между ними равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.

Расстояние между прямой и плоскостью:

1. Если прямая лежит в плоскости или ее пересекает, то расстояние между прямой и плоскостью равно нулю.

2. Если прямая параллельна плоскости, то расстояние между ними равно расстоянию от любой точки этой прямой до данной плоскости.

Расстояние между плоскостями:

1. Если плоскости пересекаются, то расстояние между ними равно нулю.

2. Если плоскости параллельны, то расстояние между ними равно длине перпендикуляра, построенного из любой точки одной из них к другой плоскости.

Расстояние между прямыми:

1. Если прямые пересекаются, то расстояние между ними равно нулю.

2. Если прямые параллельны, то расстояние между ними равно длине перпендикуляра, проведенного из любой точки одной из них к другой прямой.

3. Если прямые скрещиваются, то расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра.

Далее мы докажем существование общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.

Анализ вышеприведенных определений расстояний между различными объектами (точками, прямыми, плоскостями) показывает, что нахождение расстояний между ними сводится к вычислению расстояния между точкой и прямой или точкой и плоскостью. Поэтому далее переходим к обсуждению решений задач этих двух видов.