1.3. Вычисление расстояния от точки до плоскости

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины А до плоскости грани РСD.

Решение

Конструктивный метод

Искомое расстояние равно длине перпендикуляра, построенного из точки А на плоскость РСD (рис. 3). Такой перпендикуляр построить достаточно сложно. Тогда построим равный ему перпендикуляр, но из другой точки. Замечаем, что прямая АВ параллельна плоскости РСD. Следовательно, расстояние от любой точки прямой АВ до плоскости PCD равно расстоянию от точки А до той же плоскости.

Рис. 3

По-видимому, в качестве такой точки удобно выбрать середину М ребра АВ:

ρ (А, РСD) = ρ (M, РСD).

Интуиция подсказывает, что плоскость МРО перпендикулярна плоскости РСD. Докажем, что этот факт действительно имеет место. Очевидно, что MN  CD. Отсюда по теореме о трех перпендикулярах получаем, что PN  CD. Следовательно, CD  (PMN). Поэтому по признаку перпендикулярных плоскостей имеем: (CDP)  (PMN). Используя свойство перпендикулярных плоскостей, строим прямую МК, перпендикулярную линии пересечения перпендикулярных плоскостей. Заключаем, что МК  (PCD).

Таким образом, задача свелась к нахождению длины отрезка МК. Для этого обратимся к треугольнику PMN:

MN = 3, PO = 2, PN = = = .

Применяя метод площадей к треугольнику PMN, запишем:

MN  PO = MK  PN,

отсюда MK = = 2,4.

Ответ. 2,4.

Основой конструктивного метода решения задач, связанных с вычислением расстояний от точки до плоскости, являются дополнительные построения.

Для облегчения построения перпендикуляра к плоскости часто бывает полезно «увидеть» на рисунке плоскость, которая с данной плоскостью взаимно перпендикулярны и проходит через данную точку, как было в данной задаче. Тогда построение искомого перпендикуляра сводится к построению перпендикуляра к линии пересечения перпендикулярных плоскостей. Итак, запишем действия, которые образуют способ нахождения расстояния от точки до плоскости:

1. определить плоскость, перпендикулярную данной плоскости и содержащую данную точку;

2. найти линию пересечения перпендикулярных плоскостей;

3. построить перпендикуляр из данной точки к линии пересечения плоскостей;

4. вычислить длину построенного перпендикуляра, рассматривая ряд треугольников.

Возможны вариации выделенного способа. Если не удается определить плоскость, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной плоскости, то определяем плоскость, которая перпендикулярна данной плоскости и строим в ней « вспомогательный» перпендикуляр через некоторую точку. Затем строим искомый перпендикуляр через данную точку, который параллелен «вспомогательному» перпендикуляру. Длины двух перпендикуляров равны, если две точки лежат на прямой, параллельной данной плоскости (что имело место при решении задачи); или длины двух перпендикуляров находятся в некотором отношении, которое определяется из подобия треугольников.

Заметим, что после того, как был построен перпендикуляр из точки М к плоскости PCD – отрезок МК, задача свелась к планиметрической: нахождение длины перпендикуляра из данной точки к данной прямой. Ее мы решили методом площадей.

Координатный метод

Введем прямоугольную систему координат так, что ее начало совпадет с центром О квадрата ABCD, точка А принадлежит положительной полуоси абсцисс, точка D принадлежит положительной полуоси ординат, а точка Р – положительной полуоси аппликат (рис. 4).

Рис. 4

Найдем координаты точек А, С, D, Р в этой системе координат, учитывая, что АС = 3 OP = 2 и OD = :

A ( С (- ; 0; 0); D (0; ; 0); P (0; 0; 2).

Используя уравнение плоскости в отрезках = 1, запишем уравнение плоскости PCD:

= 1, или 4x – 4y - 3 z + 6 = 0.

Зная, что расстояние от точки F( x₀; y_0; z₀) до плоскости  с уравнением Ax + By + Cz + D = 0 можно вычислить по формуле:

 = ,

находим расстояние от точки А до плоскости PCD:

 ( А, PCD) = = = 2,4.

Ответ.2,4.

Идея решения задачи координатным методом возникает в связи с переводом требования задачи на язык координат:  (M, ) = - координатная модель понятия расстояния от точки М с координатами (x₀, y₀, z₀) до плоскости  с уравнением Ах + Вy + Сz + D = 0. Условие задачи однозначно диктует выбор начала прямоугольной системы координат и оси аппликат, а вот оси абсцисс и ординат могут быть выбраны по-другому, однако их выбор не отразится на ходе решения задачи. Нетрудно заметить, что координатный метод решения задачи освободил нас от дополнительных построений, которые трудно осуществить без достаточно развитого уровня пространственных представлений и логического мышления. Однако, с другой стороны, чтобы уметь решать геометрические задачи координатным методом, надо знать хорошо координатные формулы, в частности, уравнение плоскости в отрезках и формулу расстояния от точки до плоскости; уметь удобным способом вводить прямоугольную систему координат; владеть словарем перевода геометрических свойств фигур на язык координат.

Приведенное решение доступно лишь тем, кому известны уравнения плоскости в отрезках и формула расстояния от точки с заданными координатами до плоскости с соответствующим уравнением.

Попытаемся решить теперь данную задачу без применения вышеуказанных формул.

Векторно-координатный метод

Введем прямоугольную систему координат и найдем координаты точек A, C, D, P таким же образом, как сделали в начале предыдущего способа решения (рис. 4).

Известно, что из данной точки к заданной плоскости можно построить перпендикуляр и притом единственный. Пусть основанием перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости PCD, является некоторая точка М(x, y, z) (рис. 5).

Рис. 5

Для того чтобы найти три ее координаты, надо составить систему из трех уравнений. Первые два уравнения следуют из условия перпендикулярности прямой АМ и плоскости PCD: АМ  СР и АМ  CD. Значит, справедливы следующие векторные равенства:

· = 0 и · = 0,

или в координатах:

(x - )  + y 0 + z 2 = 0,

(x - )  + y  + z  0 = 0.

После преобразований получаем:

3 x + 4z – 9 = 0 (1);

3 x + 3 y - 9 = 0 (2) .

Третье уравнение следует из принадлежности точки М плоскости PCD. На векторном языке это означает, что векторы , и компланарные. Следовательно, имеем следующее векторное равенство:

=  +  .

Тогда в координатах последнее равенство примет вид системы:

x =  + 0, x = ,

y = 0 + , или y = ,

z = 2 - 2; z = 2 - 2 - 2.

П одставляя в равенства (1) и (2), получим:

17  - 8 - 1 = 0,

 +  - 1 = 0,

то есть  = ,  = . Отсюда x = , y = , z = .

Таким образом, координаты точки М найдены. Отсюда вычисляем расстояние АМ.

Ответ. 2,4.

Успех решения задачи векторным методом зависит не только от знания векторных формул, но и от умения переводить геометрические свойства фигур на векторный язык. При решении стереометрических задач встречаются достаточно часто следующие переводы: условие перпендикулярности прямой и плоскости заменяем системой векторных равенств, в которых скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю; условие принадлежности четырех точек одной плоскости - векторным равенством, основанном на компланарности трех соответствующих векторов. Введение равенств позволяет «алгебраизировать» решение геометрической задачи, то есть освобождает от дополнительных построений.

Метод объемов

Рассмотрим пирамиду PACD, которая является составной частью данной пирамиды PABCD (рис. 3). С одной стороны, за основание пирамиды PACD можно выбрать треугольник ACD и соответственно вершину Р; с другой стороны, треугольник PCD и соответственно вершину А. Тогда искомое расстояние от точки А до плоскости PCD есть длина высоты пирамиды APCD, проведенной из вершины А к плоскости грани PCD. Таким образом, вычисляя объем пирамиды APCD двумя способами:

S_ACD PO = S_PCD   (A, PCD),

находим расстояние от точки А до плоскости PCD:

 (A, PCD) = = 2,4.

Ответ. 2,4.

Метод объемов относится к общему методу решения геометрических задач – алгебраическому. В данной задаче в качестве неизвестной величины выбираем искомое расстояние от точки до плоскости, которое является длиной перпендикуляра от этой точки до плоскости. Потом выделяем многогранник, у которого этот перпендикуляр является высотой (в данной задаче пирамида APCD с основанием PCD). Затем нужно «взглянуть» на этот же многогранник иначе: в качестве основания выбрать некоторую другую грань, высота к которой известна или без особых затруднений ее можно вычислить (пирамида PACD c основанием ACD). Тогда уравнение составляем на идее выражения объема многогранника двумя способами. Отсюда и название данного метода решения задач. Нетрудно заметить, что метод объемов применим далеко не ко всем многогранникам. Он эффективен, как правило, для треугольной пирамиды или параллелепипеда. Очевидно, что применение метода объемов к решению задач такого вида не требует непосредственного построения искомого перпендикуляра. Заметим, что метод объемов является аналогом метода площадей, который применяется при решении планиметрических аналогичных задач на вычисление расстояния от точки до прямой и метод решения вам уже известен.

Большие трудности представляют задачи на вычисление расстояний между скрещивающимися прямыми. Далее мы переходим к обсуждению различных способов решения таких задач.