0. 1.2. Вычисление расстояния от точки до прямой

Задача 1. Через вершину параллелограмма АВСD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки М до прямых АD и CD, если АВ = 25 см, АD = 30 см, ВАD = 30⁰, ВМ = 12,5 см.

Решение

Вычислим расстояние от точки М до прямой АD. По определению расстояния от точки до прямой искомое расстояние равно длине перпендикуляра, построенного из точки М к прямой АD. Но как расположено основание этого перпендикуляра относительно точек А и D? Не обращаясь к параллелограмму АВСD, ответить на этот вопрос невозможно.

Рис. 1

Выберем другой способ построения перпендикуляра из точки М к прямой АD. Построим в плоскости параллелограмма АВСD (рис. 1) перпендикуляр из точки В к прямой АD (нетрудно убедиться, что основание Н этого перпендикуляра расположено между точками А и D) , затем соединим точку Н с точкой М. Тогда по теореме о трех перпендикулярах имеем: МН АD. Итак, длина отрезка МН есть искомое расстояние.

Отрезок МН является гипотенузой прямоугольного треугольника ВМН с катетами ВМ = 12,5 см и ВН = ½ АВ = 12,5 см. Следовательно, МН = 12,5 см.

Аналогично вычисляем расстояния от точки М до прямой СD.

Ответ. Расстояния от точки М до прямых АD и CD соответственно равны 12,5 см и 2,5 см.

Данную задачу мы решили конструктивным методом, т.е. непосредственно строили отрезок, длина которого является расстоянием от точки до прямой. Можно выделить основные этапы конструктивного метода решения задач на нахождение расстояния от точки до прямой:

1. построить проекцию В данной точки М на плоскость, содержащую данную прямую АD;

2. построить в этой плоскости перпендикуляр из точки В к прямой АD;

3. соединить основание перпендикуляра Н с данной точкой М;

4) вычислить МН, решая треугольники АВН, ВМН, АМН.

Задача 2. Все плоские углы при вершине D треугольной пирамиды DАВС равны 60⁰, DА = 2, DВ = 4, DС = 3. Точки Р, М и К являются серединами ребер DА, DВ и ВС соответственно. Найдите расстояние от точки М до прямой РК.

Решение

Осуществить решение данной задачи конструктивным методом нам не удается. Однако мы замечаем, что даны длины трех отрезков, выходящих из одной точки, и величины углов между ними. Возникает идея о векторном методе решения задачи.

Выберем в качестве базисных следующие векторы:

= , = , = (рис. 2).

Рис. 2

Пусть МН – искомое расстояние. Значит, · = 0. Выразим векторы и через базисные:

= – = ( + ) – = (– + + ),

= + = – + = – + х(– + + ) =

= ((1 – х) + (х – 1) + х ), где = х .

Таким образом, имеем векторное равенство:

((1 – х) + (х – 1) + х ) · (– + + ) = 0.

Раскрыв скобки и учитывая, что · = 4, · = 3, · = 6, ² = 4, ² = 16, ² = 9, получаем линейное уравнение:

(1 – х ) (–4 + 4 + 3 + 4 – 16 – 6) + х (–3 + 6 + 9) = 0.

Отсюда х = .

Следовательно, = ( – + ) = (4 – 4 + 5 ).

Итак,

МН = .

Ответ. Расстояние от точки М до прямой РК равно .

Выделим основные этапы решения данной задачи векторным методом:

1. ввести базисные векторы (в качестве базисных векторов выбрать те векторы, длины которых известны, а также известны углы между ними);

2. задать два вектора – вектор-«перпендикуляр» и вектор на данной прямой;

3. выразить эти векторы через базисные (появится неизвестный коэффициент на основе коллинеарности двух векторов);

4. составить векторное уравнение на основании того, что скалярное произведение соответствующих векторов равно 0;

5. решить векторное уравнение, раскрывая скобки и учитывая значения скалярных произведений базисных векторов;

6. вычислить длину искомого перпендикуляра.

Очевидно, самым трудным этапом решения является выражение векторов через базисные. Заметим, что векторный метод «алгебраизировал» решение задачи.