14. Гиперплоскость евклидова точечного пространства. Расстояние от точки до гиперплоскости. Объем параллелепипеда.

Рассмотрим (n-1)-мерную плоскость, т.е. гиперплоскость и прямоугольную систему координат (O, ). (1)

Пусть ( ) - некоторая точка гиперплоскости и - направляющее пространство для . Согласно теореме 26.1, через точку проходит одномерное ортогональное дополнение плоскости , т.е. прямая ∆ . Пусть n( )- какой-либо направляющий вектор прямой ∆ и М ( )- произвольная точка пространства . Точка М принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы n и ортогональны, т.е. =0. Записывая это равенство в координатах, получаем (2)

Этому уравнению относительно удовлетворяют координаты любой точки плоскости , и только такой точки. Другими словами, уравнение (2) является уравнением плоскости . Отметим, что эта плоскость проходит через точку ( ) и ортогональна вектору n( ), т.е. прямой с направляющим вектором n.

Запишем уравнение (2) гиперплоскости в виде (3)

Пусть N( ) - произвольная точка пространства .Рассмотрим прямую , проходящую через точку N и являющуюся ортогональным дополнением гиперплоскости . Эта прямая пересекает гиперплоскость в некоторой точке Р( ). По аналогии с пространством сформулируем

Определение 26.7. расстоянием от точки N до гиперплоскости называется длина вектора .

Определение 26.8. Множество всех точек пространства , координаты которых в репере ( ) удовлетворяют неравенствам называется n-мерным параллелепипедом в пространстве , построенным на n линейно независимых векторах (2) отложенных от некоторой точки .

Пусть параллелепипед построен на линейно независимых векторах (2). Зафиксируем в пространстве какой-либо ортонормированный базис (3)

и разложим каждый из векторов (2) по векторам базиса (3). Пусть - квадратная матрица n-го порядка, столбцами которой являются координатные столбцы соответствующих векторов (2) в базисе (3).

Определение 26.9. Объемом n-мерного параллелепипеда, построенного на векторах (2), отложенных от некоторой точки М, называется число (4)

Теорема Пусть объем n-мерного параллелепипеда, построен на векторах (2), отложенных от некоторой точки М. Тогда V не зависит от выбора ортонормированного базиса (3).

15. Движения евклидова точечного пространства. Группа движений евклидова точечного пространства. Метрически эквивалентные фигуры евклидова точечного пространства.

Определение 26.10. Аффинное преобразование f точечного евклидова пространства называется движением этого пространства, если оно не изменяет расстояний между точками, т.е. для любых точек имеем (1)

Движения точечного евклидова пространства тесно связаны с ортогональными операторами соответствующего линейного евклидова пространства , а именно: имеет место следующая

Теорема 26.2. Аффинное преобразование f пространства является движением тогда и только тогда, когда его однородная часть φ - ортогональный оператор.

Заметим, что движение f пространства выражается в прямоугольных координатах с помощью формулами = , где - ортогональная матрица однородной части движения f.

Теорема 26.3. Множество всех движений пространства есть подгруппа в группе всех аффинных преобразований этого пространства.

Определение 26.11. Фигура пространства называется метрически эквивалентной фигуре этого пространства, если существует движение , переводящее фигуру в фигуру , т.е

Теорема 26.4. Все ортонормированные реперы пространства образуют один класс метрически эквивалентных фигур.

Док_во: Заметим прежде всего, что ортонормированный репер (7) вполне определяется упорядоченным набором из n+1 точек , таких, что , . Поэтому репер можно считать фигурой. Так как по теореме 26.2 любое движение пространства сохраняет скалярное произведение векторов, то f переводит всякий ортонормированный репер в ортонормированный. Пусть заданы два ортонормированных репера: (7) и , причем - координаты точки О` в репере (7) и -матрица перехода от ортонормированного базиса (9) к ортонормированному базису . Как известно из §23.7, матрица А является ортогональной. Рассмотрим теперь движение, заданное формулой (8). Оно переводит репер (7) в репер (11). Итак, любые два ортонормированных репера метрически эквивалентны.

Теорема 26.5. Все k-мерные плоскости пространства при фиксированном k образуют один класс метрически эквивалентных фигур.