3. Плоскости в аффинном пространстве.

Уравнение прямой П¹ в пространстве E³: r = r₀ + ta, (1)

где а – направляющий вектор прямой; r₀ - радиус-вектор некоторой фиксированной точки М₀ прямой; r - радиус-вектор произвольной точки М прямой. Векторы ta (t R) образуют одномерное подпространство V¹ линейного пространства V³ всех свободных векторов. Таким образом, прямую П¹ можно рассматривать как множество всех точек М, таких, что

Аналогично уравнение плоскости П² в пространстве E³ можно записать в виде r = r₀+t₁a₁+ t₂a₂ (2)

Векторы t₁a₁+ t₂a₂ образуют двумерное подпространство V² линейного пространства V³, и плоскости П² есть множество всех точек М, таких, что

Определение 25.3. Пусть М₀ – некоторая точка аффинного пространства Аⁿ и V^k – k-мерное подпространство линейного пространства V^п, с которым связано Аⁿ. Множество всех точек М Aⁿ, таких, что , называется k-мерной плоскостью, проходящей через точку М₀ и имеющей направляющее пространство V^k. Одномерная плоскость называется также прямой, а(п - 1)-мерная – гиперплоскостью.

Св-ва плоскости в аффинном пространстве:

Лемма1. В качестве начальной точки М₀ плоскости П^k может быть выбрана любая точка этой плоскости.

Док-во: Пусть М₁ – некоторая фиксированная точка плоскости П^k, проходящей через точку М₀ и имеющей направляющее пространство V^k. Надо доказать, что точка М принадлежит плоскости П^k тогда и только тогда, когда Пусть . = + , так как каждое слагаемое принадлежит V^k. Следовательно, М П^k. Обратно, если М П^k, то = + = - V^k.

Следствие: две плоскости , имеющие общие точки и одно и тоже направляющее пространство совпадают.

Теорема. Всякая k-мерная плоскость в аффинном пространстве Aⁿ является k-мерным аффинным пространством, связанным со своим направляющим пространством V^k.

Доказательство. Пусть Aⁿ – аффинное пространство, связанное с линейным пространством V^п, и П^k - k-мерная плоскость в Aⁿ, проходящая через точку М₀ и имеющая направляющее пространство V^k. Возьмем в плоскости П^k две произвольные точки M и N . согласно определению 1, им соответствует вектор V^п. Так как M , N П^k, то , V^k и = - V^k. Итак, каждой паре точек M , N плоскости П^k поставлен в соответствии вектор из k-мерного линейного пространства V^k.

Пусть M П^k, а V^k. В силу аксиомы 1^о (определение 1) для аффинного пространства Aⁿ существует точка N Aⁿ, такая, что =а. из определения 3 следует, что N П^k, т.е. аксиома 1^о справедлива и для П^k. Аксиома 2^о выполняется для точек L, M, N П^k, так как она справедлива для любых точек из Aⁿ.

4. Аффинно-независимые точки аффинного пространства.

Теорема 25.3. Для любого непустого подмножества S Aⁿ существует плоскость П^k, удовлетворяющая следующим условиям:

1. S П^k

2. плоскость П^k принадлежит любой плоскости, содержащей S.

Доказательство. Если П^k и П^l – две искомые плоскости, то П^k П^l и П^l П^k, поэтому П^k= П^l. Итак, если искомая плоскость существует, то она единственна. Покажем теперь, что такая плоскость существует. Возьмем в множестве S некоторую точку М₀ и рассмотрим множество векторов М S . Обобщая понятие линейной оболочки конечной системы векторов, построим подпространство L(U) линейного пространства V^п, состоящее из всевозможных линейных комбинаций конечных систем векторов пространства U: L(U)=

Покажем, что плоскость A(S), проходящая через точку М₀ и имеющая направляющее пространство L(U), является искомой. Очевидно, что плоскость A(S) содержит все точки множества S , т.е. S A(S). С другой стороны, если некоторая плоскость П содержит все точки множества S, то ее направляющее пространство включает в себя все векторы пространства U, а также любые их линейные комбинации, т.е. П A(S). В силу единственности искомой плоскости рассмотренное построение не зависит от выбора начальной точки М₀ S.

Определение 25.4. Плоскость A(S), построенная при доказательстве теоремы 25.3, называется аффинной оболочкой множества S.

Определение 25.5. Точки М₀, М₁, …, М_k аффинного пространства Aⁿ называются аффинно независимыми, если их аффинная оболочка k-мерна.

Теорема 25.4. Через любые k + 1 аффинно независимые точки пространства Aⁿ проходит единственная k-мерная плоскость. Во всякой k-мерной плоскости есть k + 1 и не существует k + 1 аффинно независимых точек. Любую систему аффинно независимых точек k-мерной плоскости можно дополнить до системы, состоящей из k + 1 аффинно независимых точек этой плоскости.

Доказательство. Пусть М₀, М₁, …, М_k – аффинно независимые точки пространства Aⁿ. Их аффинная оболочка A(М₀, М₁, …, М_k) является k-мерной плоскостью, содержащей эти точки, согласно сделанному выше замечанию. Пусть П^k – также некоторая k-мерная плоскость с направляющим пространством V^k, и точки М₀, М₁, …, М_k принадлежат П^k. Так как подпространство V^k содержит линейно независимые векторы , , …, , оно совпадает с их линейной оболочкой, т.е. с направляющим пространством плоскости A(М₀, М₁, …, М_k). Следовательно, П^k = A(М₀, М₁, …, М_k), и первое утверждение теоремы доказано.

Пусть П^k – произвольная k-мерная плоскость, проходящая через точку М₀ и имеющая пространство V^k. Возьмем какой-либо базис а₁, а₂,…,а_k пространства V^k и рассмотрим точки М₁, М₂ …, М_k, такие, что = а₁, = а₂ , …, = а_k. Мы получили k+1 аффинно независимых точек М₀, М₁, …, М_k, принадлежащих плоскости П^k. Предположим теперь, что в плоскости П^k существует k + 1+l( l 0 ) аффинно независимых точек. Тогда аффинная оболочка П^k+l этой системы точек есть плоскость размерности k+l, содержащаяся в k-мерной плоскости П^k. Но это невозможно, так как направляющее пространство V ^k+l плоскости П^k+l не может содержаться в направляющем пространстве V ^k плоскости П^k. Полученное противоречие и доказывает второе утверждение теоремы.

Пусть теперь М₀, М₁, …, М_l - аффинно независимые точки, принадлежащие плоскости П^k. Согласно теореме, система линейно независимых векторов , ,…, может быть дополнена векторами , …, до базиса направляющего пространства V ^k плоскости П^k. Тогда М₀, …, М_l+1, …, М_k есть система k + 1 аффинно независимых точек плоскости П^k.

Следствие 25.1. Через любые две различные точки аффинного пространства Aⁿ проходит единственная прямая.