- •Аффинное пространство и его простейшие свойства. Примеры.
- •Координаты в аффинном пространстве.
- •Плоскости в аффинном пространстве.
- •Аффинно-независимые точки аффинного пространства.
- •Векторное параметрическое уравнение плоскости. Плоскости и системы линейных уравнений.
- •Пересечение и сумма плоскостей аффинного пространства.
- •Аффинное отображение.
- •Изоморфизм аффинных пространств
- •Аффинные преобразования. Выражение аффинного преобразования в координатах.
- •Параллельный сдвиг аффинного пространства. Формулы параллельного сдвига. Центроаффинное отображение. Формулы центроаффинного отображения.
- •Фигуры в аффинном пространстве. Простое отношение трех точек. Отрезок. Середина отрезка. Центр фигуры.
- •Евклидово точечное пространство. Прямоугольная система координат.
- •Плоскости евклидова точечного пространства.
- •Гиперплоскость евклидова точечного пространства. Расстояние от точки до гиперплоскости. Объем параллелепипеда.
- •Движения евклидова точечного пространства. Группа движений евклидова точечного пространства. Метрически эквивалентные фигуры евклидова точечного пространства.
- •Собственные движения евклидовой точечной плоскости.
- •Движения трехмерного евклидова точечного пространства.
- •Несобственные движения евклидовой точечной плоскости. Аффинные преобразования евклидова точечного пространства.
- •Пространство An (I). Определение квадрики. Преобразование уравнения квадрики.
- •Пересечение квадрики с прямой.
- •Асимптотические направления. Центр квадрики.
- •Линии эллиптического, гиперболического и параболического типов. Центры линий второго порядка.
- •Диаметральные плоскости. Диаметры линий второго порядка.
Аффинное пространство и его простейшие свойства. Примеры.
Определение 25.1. Пусть заданы n-мерное линейное пространство Vn над полем P и не пустое множество An , элементы которого будем называть точками. Предположим, что каждой упорядоченной паре точек M, N An поставлен в соответствии вектор пространства Vn , обозначаемый , причем выполнены следующие аксиомы.
1о. Для любой точки M An и любого вектора a Vn существует единственная точка N An, такая, что = а.
2о. Для любых трех точек L, M, N An имеет место равенство + = (1)
Тогда множество An называется n-мерным аффинным пространством, связанным с линейным пространством Vn.
Пример1. Пространство E3 удовлетворяет определению 25.1 при n = 3 и P = R.
Свойства:
Для любой точки M An вектор - нулевой вектор пространства Vn.
В самом деле, пологая в равенстве (1) L = M, получаем + = , следовательно, = 0.
Для любых точек M, N An имеем = - . Это вытекает из равенства (1) при L = N и предыдущего следствия.
Фиксируем в пространстве An какую-либо точку О. тогда каждой точке M An будет соответствовать вектор Vn , называем радиусом-вектором этой точки. В силу аксиомы 1о отображение f: An Vn, M является биекцией.
Для любых А, А1, В, В1 A n выполняется = тогда и только тогда, когда =
Теорема: для произвольного n-мерного линейного пространства Vn можно построить аффинное пространство An, связанное с Vn.
Доказательство: Возьмем в качестве An множество Vn, т.е. элементы множества Vn будем называть векторами, и точками. Двум произвольным точкам а, b An= Vn, поставим в соответствие вектор = b - a и проверим, будут ли выполняться аксиомы 1о и 2о. Пусть а An = Vn – произвольная точка и b Vn – произвольный вектор. Требуется доказать существование единственной точки х An= Vn, такой, что = b, т.е. x – a = b. Очевидно, что искомой является точка x = a + b, и только она. Для трех произвольных точек а, b An= Vn аксиома 2о выполняется, так как равенство + = равносильно очевидному равенству(b - a) + (c - b) = c – a.
Пример 2. n-мерное аффинное пространство А n связанное с векторным пространством V n , называют каноническим аффинным пространством, связанным с векторным пространством V n . А n(V n)
Координаты в аффинном пространстве.
Определение 25.2. Аффинной системой координат или репером в аффинном пространстве An называется упорядоченная система (О, e1 , …, ), (1)
состоящая из некоторой точки О An и базиса , …, (2)
соответствующего линейного пространства Vn.
Координатами точки М An в репере (1) называются координаты х1, х2, …,хп (3) ее радиуса-вектора в базисе (2), т.е. коэффициенты в разложении = х1е1 + х2е2 + …+ хпеп.
Заметим, что координаты точки в заданном репере определены однозначно.
Пусть Аn – n-мерное аффинное пространство, связанное с век. Пространством V n (О, e1 , e2,…, en) (4), (О’, e1’ , e2’,…, en’) (5) два репера Аn . Пусть заданы координаты (а1, а2, …, ап) точки О’ в репере (1) и матрица A = перехода от базиса (2) к базису e1’ , e2’,…, en’ (6) и пусть точка M An имеет в репере (1) координаты (х1, х2, …,хп ) (3) и в новом репере (5) координаты (х1’ , х2’,…, хn’) (7)
Выразим старые координаты (3) точки М через ее новые координаты (7). Для этого введем следующие обозначения: , , . Так как координатный столбец вектора в базисе (2) равен Х – А1 , а в базисе (6) равен X’, по формулам преобразования координат вектора имеем: Х – А1 = AX’ или X = AX’+ А1 . (9)
Запишем формулы (9) в развернутом виде
или в общем виде , i = 1, 2, …, n.