21. Цепи синусоидального тока ( общие понятия и формулы ).

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во

времени по синусоидальному закону: i = I_mSIN( 2πt / T + ψ ) =

I_mSIN( ωt + ψ ). Максимальное значение функции называется

амплитудой. Ее обозначают: I_m. Период Т – это время, за которое

совершается одно колебание. Частота равно числу колебаний за

одну секунду. ( ωt + ψ ) – называется фазой. Фаза характеризует

состояние колебания в любой момент времени. Под средним

значением синусоидально изменяю­щейся величины понимают ее среднее значение за полпериода. Среднее значение тока: , т. е. среднее значение синусоидального тока составляет 2 / π = 0,638 от амплитудного. Аналогично, Е_ср = 2Е_m / π; U_ср = 2U_m / π. Широко применяют понятие действующего значения синусои­дально изменяющейся величины (его называют также эффектив­ным или среднеквадратичным). Действующее значение тока: , следовательно, действующее значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного. Аналогично,

E = E_m / √2 и U = U_m / √2. Действующее значение синусоидального тока численно равно значению такого постоянного тока, который за вре­мя, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же коли­чество теплоты, что и синусоидальный ток.

Коэффи­циент амплитуды k_а — это отношение амплитуды периодически из­меняющейся функции к ее действующему значению. Для синусои­дального тока: k_a = I_m / I = √2

Под коэффициентом формы k_ф понимают отношение действую­щего значения периодически изменяющейся функции к ее среднему за полпериода значению. Для синусоидального тока: k_ф = I / I_cp = π / 2√2 = 1,11. Существует формула: I_me^{j(ωt + ψ )} = I_me^jψ = I_m^*, где I_m^* -комплексная величина, модуль которой равен I_m , Ψ –угол, под котором вектор I_m^* проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе. Величину I_m^* называют комплексной амплитудой тока i. Скорость поступления энергии по участка цепи характери­зуется мощностью. Под мгновенным значением мощности, или под мгновенной мощностью, понимают произведение мгновенного зна­чения напряжения и на участке цепи на мгновенное значение тока i, протекающего по этому участку: p = ui, где р — функция времени.

22. Резистивный элемент ( активное сопротивление ) в цепи синусоидального тока.

Резистивный элемент — это идеализированный схемный

элемент, учитывающий выделение теплоты в том или ином

элементе реальной электрической цепи. Его характеризуют

зависи­мостью напряжения и на нем от протекающего по нему

тока (вольтамперной характеристикой) или сопротивлением

R = u / i. На схе­мах его изображают, как и резистор.

Положительные направления отсчета u и i совпадают. Пусть: i = I_mSINωt. По закону Ома: u = iR = RI_mSINωt = U_mSINωt. и U_m = RI_m. На рис. в даны кривые мгновенных значений тока i, напряжения u и мощности р = U_mI_mSIN²ωt = U_mI_m*( 1 – COS2ωt ) /2 . Мгновенная мощность р имеет постоянную составляющую U_mI_m / 2 и составляющую U_mI_m*COS2ωt / 2, изменяющуюся с частотой 2ω. Потребляемая от источника питания за время dt энергия равна pdt.

23. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.

Индуктивный элемент позволяет учитывать явление наведения ЭДС, изменяющимся во времени магнитным потоком, и явление накоп­ления энергии в магнитном поле реальных элементов электрической цепи. Его характеризуют зависимостью потокосцепления ψ от тока I (вебер-амперной характеристикой) или индуктивностью L = ψ / i. На схеме замещения реальную индуктивную катушку можно представить в виде последовательно соединенных индуктивного и резистивного элементов. Направления тока, ЭДС самоиндукции и напряжение на нем совпадают по направлению. i = I_mSINωt, U_L = L*di / dt,

u = ωLI_mSIN(ωt + 90) = U_m SIN(ωt + 90), U_m = ωLI_m, U_L^* = ωLI^*e^{jπ / 2}.

Произведение ωL обозначается X_L, называется индуктивным

со­противлением и измеряется в омах (Ом): X_L = ωL. Таким

образом, индуктивный элемент (индуктивная катушка, у которой

R = 0) при синусоидальном токе обладает сопротивлени­ем,

модуль которого X_L = ωL прямо пропорционален частоте ω. На

рис. 3.6, б вектор напряжений опережает вектор тока I на 90°.

Комплекс ЭДС самоиндукции E_L находится в противофазе с

комплексом напряжений U. Графики мгновенных значений i, u, р

изображены на рис. в. Мгновенная мощность рассчитывается по формуле:

p = ui = U_mCOSωt*I_mSINωt = U_mI_mSIN2ωt / 2.

Мгновенная мощность проходит через нулевое значение, когда через нуль проходит либо i, либо u. За первую четверть периода, когда u и i положительны, р также положительна. Площадь, ограниченная кривой р и осью аб­сцисс за это время, представляет собой энергию, которая взята от источника питания на создание энергии магнитного поля в индук­тивной катушке. Во вторую четверть периода, когда ток в цепи уменьшается от максимума до нуля, энергия магнитного поля от­дается обратно источнику питания, при этом мгновенная мощность отрицательна. За третью четверть периода у источника снова заби­рается энергия, за четвертую отдается и т. д. Следовательно, энер­гия периодически то забирается индуктивной катушкой от источни­ка, то отдается ему обратно.

Падение напряжения на реальной индуктивной катушке равно сумме напряжений на L и на R. Угол между напряжением U на катушке и током I равен 90⁰ — σ, причем

tgσ = R / ωL = l / Q_L, где Q_L — добротность реаль­ной индуктивной катушки. Чем больше Q_L, тем меньше σ.

24. Емкостной элемент ( конденсатор ) в цепи синусоидального тока.

Емкост­ный элемент — это идеализированный схемный элемент, позволя­ющий учесть протекание токов смещения и явление накопления энергии в электрическом поле реальных элементов электрической цепи. Его характеризует зависимость заряда q от напряжения и (кулон-вольтная характеристика) или емкость C = q / u. Положительные направления отсчета u и i совпадают. Если приложенное к конденсатору напряжение u не изменяется во времени, то заряд q = Сu на одной его обкладке и заряд — q на другой (С — емкость конденсатора) неизменны, и ток через конденсатор не проходит (i = dq / dt =0). Если же напряжение на конденсаторе изменяется во времени по синусоидальному закону: u = U_mSINωt, то по синусоидальному закону будет меняться и заряд q конденса­тора:

q = Сu = CU_mSINωt , т. е. конденсатор будет периодически пе­резаряжаться. Периодическая перезарядка конденсатора сопро­вождается протеканием через него зарядного тока:

i = dq / dt = ωCU_mCOSωt = ωCU_mSIN( ωt + 90⁰ ). Ток через

конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90°,

поэтому на векторной диаграмме (рис. б) вектор I_m опережает вектор

на­пряжения U_m на 90°. Амплитуда тока I_m равна амплитуде напряже

­ния U_m, деленной на емкостное сопротивление: X_c = 1 / ωC ,

I_m = U_m / X_c . Емкостное сопротивление обратно пропорционально

частоте. Единица емкостного сопротивления — Ом. Графики

мгновенных значений и, i, p изображены на рис. в. Мгновенная

мощность рассчитывается по формуле: p = U_mI_mSIN2ωt / 2. За первую четверть периода конденсатор потребляет от источ­ника питания энергию, которая идет на создание электрического поля в нем. Во вторую четверть периода напряжение на конденса­торе уменьшается от максимума до нуля, и запасенная в электри­ческом поле энергия отдается источнику (мгновенная мощность отрицательна). За третью четверть периода энергия снова запаса­ется, за четвертую отдается и т. д. i = C*du / dt, u = ∫idt / C.

25. Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока.

Очень широкое распространение на практике получил символический, или комплексный, метод расчета цепей синусоидального тока.

Сущность символического метода расчета состоит в том, что при (синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном но законам Кирхго­фа для установившегося процесса, мгновенное значение тока i за­меняют комплексной амплитудой тока I_m; мгновенное значение на­пряжения на резисторе сопротивлением R, равное Ri,— комплексом RI_m, no фазе совпадающим с током I_m; мгновенное значе­ние напряжения на индуктивной катушке u_L = L*di / dt –комплексом I_m^*jωL, опережающим ток на 90°; мгновенное значение напряжения на конденсаторе u_c = ∫idt / C — комплексом I_m( -j / ωC ) отстающим от то­ка на 90°; мгновенное значение ЭДС е — комплексом Е_m.

Пример. Найти Im^* для схемы на рисунке. Решение. Схему на

рисунке можно описать в виде: u_R + u_L + u_c = e или

iR + L*di / dt + ∫idt / C = e. в комплексной форме это выглядит:

Im^*R + I_m^*jωL + I_m^*( -j / ωC ) = E_m^*. Если вынести Im^* за скобку, то:

Im^**( R + jωL + ( -j / ωC )) = E_m^*. Тогда .

26. Комплексное сопротивление. Закон Ома для цепи синусоидального тока.

Множитель R+ jωL – (-j / ωC ) представляет собой комплекс, имеет размерность сопротивления и обозначается через Z. Его называют комплексным сопротивлением:

Z = ze^jφ = R+ jωL – 1 / ωC. Комплекс, Z можно записать в показательной форме. Модуль комплексного сопротивления принято обозначать через z. Точку над Z не ставят, потому что принято ставить ее только над такими комплексными величинами, которые отображают сину­соидальные функции времени.

Уравнение Im^**( R + jωL + ( -j / ωC )) = E_m^* можно записать так: I_mZ = E_m^* . Разделим обе его части на √2 и перейдём от комплексных амплитуд I_m^* и E_m^* к комплексам действующих значений I^* и Е^*: I^* = E^* / Z. Уравнение Im^**( R + jωL + ( -j / ωC )) = E_m^* представляет собой закон Ома для цепи сину­соидального тока.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jХ: Z = R + jX, где R — активное сопротивление; X — реактивное сопротивление.

27. Комплексная проводимость.

Под комплексной проводи­мостью Y понимают величину, обратную комплексному сопротив­лению Z: Y = 1 / Z = g - jb = ye^-jφ. Единица комплексной проводимости — См или

(Ом^-1 ). Действи­тельную часть ее обозначают через g, мнимую — через b. Так как

, то

Если X положительно, то и b положительно. При X отрицатель­ном b также отрицательно.

При использовании комплексной проводимости закон Ома записывают в виде: I^* = U^*Y, или I^* = U^*g – jU^*b = I_a^* + I_r^*, где I_a^* — активная составляющая тока; I_r^*— реактивная составля­ющая тока; U — напряжение на участке цепи, сопротивление кото­рого равно Z.

28. Активная, реактивная и полная мощность.

Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности р за период Т: . Если ток i = I_mSINωt, напряжение на участке цепи

u = U_mSIN(ωt + φ ), то . Активная мощность физически представляет собой энергию, ко­торая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи в сопротивлении R. Тогда: P = U*COSI = I²R. Единица активной мощности — Вт.

Под реактивной мощностью Q понимают произведение напря­жения U на участке цепи на ток I по этому участку и на синус угла φ между напряжением U и током I:

Q = UI*SINφ. Единица реактивной мощности — вольт-ампер реактивный (ВАр). Если SINφ >0, то Q >0, если SINφ <0, то Q <0. Реактивная мощность Q пропорциональна среднему за четверть периода значению энергии, которая отдается источником питания на создание переменной составляющей элект­рического и магнитного поля индуктивной катушки и конденсатора. За один период переменного тока энергия W_МЭСР дважды отдается генератором в цепь и дважды он получает ее обратно, т. е. реак­тивная мощность является энергией, которой обмениваются гене­ратор и приемник.

Полная мощность рассчитывается по формуле: S = UI. Единица полной мощности — В*А. Мощности P, Q и S связаны следующей зависимостью: P² + Q² = S². На щитке любого источника энергии переменно­го тока указывается значение S, характеризующее ту мощность, которую этот источник может отдавать потребителю, если последний работает при COSφ = 1 (т. е. если потребитель представляет собой чисто активное сопротивле­ние).

29. Выражение мощности в комплексной форме записи.

Мощность в комплексной форме записи имеет формулу:

Š = U^*I^# = Ue^jφ_u *Ie^-jφ_i = UICOSφ + jUISINφ = P + jQ. Значок ~ (тильда) над S обозначает комплекс (а не сопряжен­ный комплекс) полной мощности, составленный при участии сопря­женного комплекса тока I^#. Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть (Re), а реактивная мощность Q — мнимая часть (Im) произ­ведения U^*I^#: P = Re U^*I^#, Q = U^*I^#.

Пример. Определить активную, реактивную и полную мощности по данным: e = 141SINωt В, R₁ = 3 Ом, R₂ = 2 Ом, L = 0,00955 Гн, ω = 314 рад /с. Решение. Напряжение на входе всей схемы равно ЭДС U = E = 100 В. Ток в цепи I^* = 17,2е^-j31 А. Сопряженный комплекс тока I^# = 17,2е^j31 А. Комплекс полной мощности S = U^*I^# = 100*17,2e^j31 =

= 1720*COS31⁰ +j*1720*SIN31⁰ = 1475 + j*886; P = 1475; Q = 886. Следовательно, активная мощность P = 1470 Вт, реактивная Q = 886 ВАр и S = 1720 B*A.

30. Измерение мощности ваттметром.

Измерение мощности производят обычно с помощью ваттметра электродинамической системы, в котором имеются две катушки — неподвижная и по­движная.

Подвижная катушка, выполненная из очень тонкого провода, имеет практически чисто активное сопротивление и называется параллельной обмоткой. Ее включают параллельно участку цепи, подобно вольтметру. Жестко скрепленная со стрелкой (указате­лем), она может вращаться в магнитном поле, создаваемом непод­вижной катушкой.

Неподвижная катушка, выполненная из довольно толстого при­вода, имеет очень малое активное сопротивление и называется по­следовательной обмоткой. Ее включают в цепь последовательно, подобно амперметру.

Вращающий момент ваттметра, а следовательно, и его показа­ния пропорциональны действительной части произведения комп­лексного напряжения U_аb на параллельной обмотке ваттметра на сопряженный комплекс тока I^#, втекающего в конец последовательной (токовой) обмотки ваттметра и снабженной точкой: ReU_ab^*I^# = U_abI*COS(U_abI).

Напряжение на параллельной обмотке берут равным разности

потенциалов между ее концом, имеющим точку (точка а), и ее кон­цом, не

имеющим точки (точка b). Предполагается, что ток I втекает в конец

последовательной обмотки, у которого поставлена точка.

Цена деления ваттметра определяется как частное от деления

произведения номинального напряжения на номинальный ток на число делений шкалы.

31. Двухполюсник в цепи синусоидального тока.

Если мы имеем пассивный двухполюсник, то входное сопротивление двухполюсника Z_вх = Е / I. В общем случае: Z_вх = R_вх +j X_вх = ze^jφ. При Х_вх > 0 входное сопротивление имеет индуктивный харак­тер (φ > 0), при Х_вх < 0 — емкостный и при Х_вх = 0 — чисто актив­ный.

Входная проводимость Y, представляет собой величину, обрат­ную входному сопротивлению: Y_вх = l / Z_вх. Входное сопротивление можно определить расчетным путем, если известна схема внутренних соединений двухполюсника и ха­рактер и значения сопротивлений, либо опытным путем.

При опытном определении входного сопротивления двухполюс­ника собирают схему рис. а, в которой амперметр измеряет ток I, вольтметр — напряжение U_ab = U на входе двухполюсника. Ваттметр измеряет Re{U_ab^*I^# }, т. е. активную мощность Р = UIcosφ.

Модуль входного сопротивления z = U / I. При делении Р на произ­ведение UI получают косинус угла между напряжением и током: COSφ = P / UI. По косинусу угла находят SINφ и затем находят R_вх = z*COSφ и X_вх = Z*SINφ .

Так как косинус есть функция четная,

т. е. cos( -φ ) = соsφ, то измерения

необходимо дополнить еще одним опытом,

который по­зволил бы путем сопоставлений

показаний амперметра в двух опы­тах

выявить знак угла φ. Для определения знака

угла φ можно воспользоваться специальным

прибором — фазометром либо при его отсутствии, проделав следующий опыт: параллельно исследуе­мому двухполюснику путем замыкания ключа К подключают не­большую емкость С (рис. а). Если показания амперметра при замыкании ключа К станут меньше, чем они были при разомкнутом ключе, то угол φ положите­лен и входное сопротивление Z = ze^jφ имеет индуктивный характер (рис. б). Если показания амперметра при замыкании ключа станут больше, то φ отрицательно и входное сопротивление имеет емкостный характер (рис. в).

Пример. В схеме рис. a U = 120 В; I = 5 А; Р = 400 Вт. Замыкание ключа К приводит к уменьшению показаний амперметра. Опреде­лить входное сопротивление двухполюсника.

Решение. Модуль входного сопротивления: z = U / I = 24 Ом; COSφ = P / UI = 400 / 120*5 = 0,666; SINφ = 0,745. Таким образом: R_вх = z*COSφ = 24*0,666 = 16 Ом;

X_вх = z*SINφ = 24*0,745 = 17,9 Ом. Комплекс входного сопротивления: Z_вх = 16 + j17,9 Ом.

32. Резонансный режим работы двухполюсника.

Пусть двух­полюсник содержит один или несколько индуктивных элементов и один или несколько конденсаторов. Под резонансным режимом (режимами) работы такого двухполюсника понимают режим (ре­жимы), при котором входное сопротивление двухполюсника явля­ется чисто активным. (Следовательно, для определения условий наступления резонанса следует при­равнять нулю мнимую часть комплекса входного сопротивления двухполюсника. Такой способ справедлив, если не пренебрегать активными сопротивлениями индук­тивных катушек. )

По отношению к внешней цени двухполюсник в резонансном режиме ведет себя как активное сопротивление, поэтому ток и на­пряжение на его входе совпадают по фазе. Реактивная мощность двухполюсника при этом равна нулю.

Различают две основные разновидности резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений.

33. Резонанс токов.

Явление резонанса в схеме рис. а, образованное

двумя параллельными ветвями с разнохарактерны­ми

реактивными сопротивлениями, называют

резонансом токов.

Пусть первая ветвь содержит активное

сопротивление R₁ и ин­дуктивное ωL., а вторая ветвь — активное R₂ и емкостное 1 / ωС.

Ток I₁^* в первой ветви отстает от напряжения U = U_ab (рис. б) и может быть записан как:

I₁^* = U^*Y₁ = U^*(g₁ – jb₁ ). Ток I₂ во второй ветви опережает напряжение:

I₂^* = U^*Y₂ = U^*(g₂ – jb₂ ). Ток в неразветвленной части цепи:

I^* = I₁^* + I₁^* = U^*( g₁ + g₂ ) – jU^*( b₁ + b₂ ). По определению резонансного режима ток I^* должен совпадать по фазе с напряжением U. Это будет при условии, что сумма реактивных проводимостей ветвей равна нулю: b₁ + b₂ = 0. b₁ и b₂ можно рассчитать:

, следовательно, условие наступления режима резонанса токов

можно записать так: . На рис. б изображена векторная диаграмма для резонанс­ного режима. Из рисунка следует, что если R₂ = 0, то резонанс насту­пит при:

ωL / ( R₂² + ω²L² ) = ωC. В еще более частном случае, когда R₂ = 0 и R₁ << L, резонанс наступит при: ω²LC ≈ 1. Резонанса можно достичь путем изменения ω, L, С или R₁ и R₂. Числовое значение тока в неразветвленной части схемы может быть меньше токов в ветвях схемы. При R₂ = 0, R₁ ≈ 0 ток I может ока­заться ничтожно малым по сравнению с токами I₁ и I₂. В идеализированном, практически не выполнимом режиме ра­боты, когда R₁ = R₂ = 0, ток в неразветвленной части схемы равен нулю и входное сопротивление равно ∞.

Пример. В схеме на рис. а R₁ = 30 Ом, ωL = 40 Ом, R₂ = 0, ω^/ = 10³ рад /с. При каком значении емкости конденсатора в схеме будет резонанс токов? Решение.

34. Резонанс напряжений.

Резонанс в схеме последователь­ного соединения

R, L, С (рис. а) называют резонансом напря­жений. При

резонансе ток в цепи должен совпадать по фазе с ЭДС

Е^*. Это возможно, если входное сопротивление

схемы Z = R + j( ωL — 1 / ωС) будет чисто активным:

Условие наступления резонанса в схеме: ω₀L = 1 / ω₀C,

где ω₀ –резонансная частота. При этом I^* = E^* / R. Напряжение на индуктивном элементе при резонансе равно напряжению на емкостном: U_L = U_C = ω₀LI = ω₀LE / R. Отношение: ω₀L / R = √(L / C ) / R = Q называют добротностью резонансного контура. Добротность пока­зывает, во сколько раз напряжение на индуктивном (емкостном) элементе превышает напряжение на входе схемы в резонансном режиме. Векторная диаграмма для режима резонанса изображена на рис. б.

Характеристическим сопротивлением q для схемы (рис. а) называют отношение напряжения на L и С в режиме резонанса к току в этом режиме: q = QR = √(L / C ) .

35. Частотные характеристики двухполюсников.

Входное со­противление и входная проводимость двухполюсника в общем слу­чае являются функциями частоты ω. Под частотными характери­стиками (ЧХ) понимают следующие типы характеристик: 1) зависимость модуля входного сопротивления (проводимости) от ча­стоты ω; 2) зависимость действительной или мнимой части входного сопротивления (проводимости) от частоты ω. ЧХ могут быть получе­ны расчетным (если известна схема, характер элементов и их чис­ловые значения) либо опытным (в этом случае схему двухполюсни­ка и характер составляющих ее элементов можно и не знать) путем.

При снятии ЧХ опытным путем на вход двухполюсника подают напряжение, частоту которого изменяют в широких пределах, начи­ная с нуля, и по результатам измерений подсчитывают модуль вход­ного сопротивления (проводимости) или действительную (мнимую) часть входного сопротивления (проводимости).

В общем случае двухполюсники содержат резистивные и реак­тивные элементы. В частном случае двухполюсники могут состоять только из реактивных элементов, тогда их называют реактивными двухполюсниками. Применительно к ним под ЧХ понимают зависи­мости X = f(ω) или b = f(ω).

Качественно построим характеристику z = f(ω) для

двухполюс­ника рис. а (рис. б). При ω = 0 (конденсатор

представляет собой разрыв) z = R + R₁. При ω ∞

сопротивление конденсато­ра 1 / ωC 0, а индуктивное

сопротивление ωL ∞. Поэтому при ω  ∞, z = R + R₂.

При ω = ω₀^/ имеет место режим резонанса токов и потому входное сопротивление имеет максимум. В области частот от 0 до ω₀^/ z –имеет индуктивный характер, в области от ω₀^/ до ∞ -емкостной . Если R₁ = R₂ << L / C, то ω₀^/ ≈ L / C*2R₁.

Рассмотрим вопрос о построении частотных характеристик ре­активных двухполюсников, не содержащих резистивных сопротив­лений. Входное сопротивление их

Z = jX, а входная проводимость Y= 1 / Z = -j / X = - jb, тогда b = 1 / X. Частотная

характеристика таких

двухполюсников —это зависимость

X (ω) или b (ω). Эти зависимости

взаимно обратны. Для индуктивного

элемента Х(ω) = ωL (рис. а), а

b(ω) = 1 / ωL (рис. б). Для емкостного элемента b(ω) = - ωС (рис. в), а Х(ω) = -1 / ωC

(рис. г). Для получения Х(ω) последовательно соединенных элемен­тов надо сложить ординаты кривых Х(ω) этих элементов.

36. Двухполюсники.

1. Случай. ( сопротивление и

емкость соединены последовательно ).

ЧХ последовательно соединенных

L₁ и С₁ (рис. д) построена на рис. е в

виде кривой 3 (прямая 1 — это

ЧХ L₁ , а кривая 2 — ЧХ С₁ ).

Зависимость b(ω) для схемы рис. д

изображена на рис. ж. При

частоте ω₀ = 1 / √L₁C₁ кривая Х(ω)

пересекает ось абсцисс, а кривая

b(ω) претерпевает разрыв от -∞ до +∞.

При этой частоте имеет место резонанс напряжений.

Основные формулы: Z_вх = R +jX, если R = 0, то Z_вх = jX = j*( ωL – 1 / ωC ).

Y_вх = 1 / Z_вх = 1 / ( R +jX ) = R / ( R² + X² ) – jX / ( R² + X² ) = g – jb = g – j /X.

2. Случай. При параллельном соединении элементов прово­димости их надо сложить, то ясно, что для получения кривой b(ω) параллельно соединенных элементов надо сложить ординаты кривых b(ω) этих элементов. Зависимость b(ω) для схемы рис. з изобра­жена на рис.к, а обратная ей зависимость Х(ω) — на рис. и. При частоте ω _о^/ = 1 / √L₂C₂ кривая b(ω) пересекает ось абсцисс, а Х(ω) претерпевает разрыв от +∞ до -∞. При этой частоте имеет место резонанс токов в цепи (рис. з).

Основные формулы: ;

3. Случай. На рис. л последовательно соединены два двухэлементных ранее рассмотренных двухполюсни­ка. Так как Х(ω) каждого из этих двухполюсников построена, то ре­зультирующее Х(ω) схемы рис. л получим, суммируя ординаты Х(ω) этих двухполюсников (т. е. кривых рис. е, и). Зависимость X(ω) для схемы рис. л см. рис. м, a b(ω) — на рис. н. При плавном увеличении частоты в схеме (рис. ж), начиная с ω = 0, сначала возникает резонанс напряжений при частоте ω₁ , затем резо­нанс токов при ω₂, после этого резонанс напряжений при ω₃ . При дальнейшем увеличении ω резонансов возникать не будет.

Сделаем следующие выводы: 1) режимы резонанса токов и резонанса напряжений чередуют­ся; 2) число резонансных частот для канонических схем на единицу меньше числа реактивных элементов; 3) если в схеме есть путь для прохождения постоянного тока, то при плавном увеличении частоты, начиная с нуля, первым наступит резонанс токов, если нет — резонанс напряжений.

Это следует из того, что если есть путь для постоянного тока, то при ω = 0 характеристика X = f(ω) начинается с нуля, затем X увеличивается, а при некоторой ω кривая претерпевает разрыв, который и соответствует резонансу токов.

37. Передача энергии от активного двухполюсника в нагрузку.

К зажимам ab активного двухполюсника (рис. а) подключена Нагрузка

Z_н = R_н +jX_н. Требуется выяснить, при соблюдении ка­ких условий в

нагрузке выделяется максимальная активная мощ­ность.

По методу эквивалентного генератора ток в нагрузке: I^* = U_abx^* / ( Z_вх + Z_н ),

где Z_вх = R_вх + jX_вх — входное сопротивление двухполюсника по от­ношению к зажимам ab, поэтому: I^* = U_abx^* / ( R_вх + R_н +j*( X_вх +X_н )). По условию, R_вх и Х_вх заданы и изменять их нельзя. Изменять можно лишь R_н и Х_н. Выберем такое Х_н , чтобы ток в цепи был максимальным; это возможно, если Х_вх + Х_н =0. При этом двухпо­люсник работает в резонансном режиме — ток через нагрузку по фазе совпадает с напряжением U_фbx:

I = U_abx / ( R_вх + R_н ). Как и в цепи постоянного тока, если взять R_н = R_вх выделяющаяся в нагрузке мощность максимальна: P_max = U_abx² / 4R_вх . Таким образом, чтобы выделить в нагрузке, присоединяемой к активному двухполюснику с входным сопротивлением R_n + jX_вx, максимально возможную мощность, необходимо выбрать следую­щие сопротивления нагрузки.: Х_н = -Х_вх, R_H = R_вх. При этом Z_н = Z_вх^#, а КПД составит 50%.

38. Расчет электрических цепей при наличии в них магнитносвязных катушек.

В состав электрических цепей могут входить катушки, магнитно-связанные с другими катушками. Поток одной из них пронизывает другие и наводит в них ЭДС взаимоиндукции, которые должны быть учтены при расчете. При составлении урав­нений для магнитно-связанных цепей необходимо знать, согласно или встречно направлены потоки самоиндукции и взаимоиндукции.

Правильное заключение об этом можно сделать, если

известно направление намотки катушек на сердечнике и

выбрано положи­тельное направление токов в них. На рис. а

катушки включены согласно, на рис. б — встречно. Чтобы не

загромождать чертеж, сердечники катушек на электрических

схемах обычно не изображают, ограничиваясь тем, что

одноименные зажимы (например, начала катушек) помечают одинаковыми значками, например точками. ( Схема рис. в эквивалентна схеме рис. а, а схема рис. г - схеме рис. б. )

Если на электрической схеме токи двух магнитно-связанных катушек одинаково ориентированы относительно одноименно обоз­наченных зажимов, например оба направлены к точкам или оба направлены от точек, то имеет место согласное включение, в про­тивном случае — встречное. Если магнитно связано несколько катушек, то начало и конец размечают для каждой пары катушек отдельно.

Пример. Показать пример расчета для схемы.

Решение.

Введем обозначение: М –взаимная индуктивность.

UL1 = L1*di1 / dt – M*di2 / dt	R1i1 + L2*di1 / dt – M*di2 / dt + ( 1 / C )*∫i3dt = 0;
UL2 = L2*di2 / dt – M*di1 / dt	-R2i2 - L2*di2 / dt + M*di1 / dt - ( 1 / C )*∫i3dt = 0;

39. Последовательное соединение двух магнитно-связных катушек.

На рис. 1 изображена схема последовательного

согласованного включения двух катушек, а на рис.2 —

последовательного встречного включения тех же катушек.

При согласном включении:

iR₁ + L₁*di / dt + M*di / dt + L₂*di / dt + M*di / dt + iR₂ = e.

В комплексной форме записи:

I^*( R₁ + R₂ + jω*( L₁ + L₂ + 2M )) = E^* ;

I^*Z_согл = E^*,

Z_согл = R₁ + R₂ + jω*( L₁ + L₂ + 2M )

Векторная диаграмма для согласного включения изображена на рис. 3,

где U₁ — напряжение на первой катушке; U₂ — на второй.

При встречном включении:

iR₁ + L₁*di / dt - M*di / dt + L₂*di / dt - M*di / dt + iR₂ = e.

В комплексной форме записи:

I^*Z_согл = E^*,

Z_согл = R₁ + R₂ + jω*( L₁ + L₂ - 2M )

Векторная диаграмма для встречного включения при

L₁ > M и L₂ > M изображена на рис. 4.

40. Определение взаимной индуктивности опытным путем.

Первый способ. Проделаем два опыта. В первый из них включим катушки последовательно и согласно. Измерим ток и напряжение на входе и активную мощность цепи. Во втором те же катушки включим последовательно и встречно и также измерим I, U, Р. По результатам измерений найдем: X_corл, = ω( L_l + L₃ + 2M); X_встр = ω ( L_l + L₂ - 2M).

Разность Х_согл — Х_встр = 4 ωМ, следовательно, М = ( Х_согл – Х_встр ) / 4ω .

Второй способ. Подключим первую катушку к источнику сину­соидальной ЭДС через амперметр как на рисунке, а к зажимам второй катушки

присоединим вольтметр с большим внутренним сопротив­лением.

Измерим ток I₁ и напряжение U₂.

Мгновенное значение напряжения u₂ = M*di₁ / dt. Его

действующее значение U₂ = ωMI₁ . Следовательно, M = U₂ / ωI₁.

Пример. В схеме на рисунке вольтметр показал 100 В,

амперметр 10 А; ω = 314 рад/с. Определить М. Решение. По формуле из второго способа, М = 100 / ( 314*10 ) = 0,0319 Гн.

41. Трансформатор. Вносимое сопротивление.

Трансформа­тор представляет собой статическое (т. е. не имеющее подвижных частей) устройство, служащее для преобразования числового значения переменного во времени напряжения, а также для электрического разделения цепей и преобразования числовых значений сопротивлений. Передача энергии из одной цепи в другую производится трансформатором благодаря явлению взаимоиндукции. Трансформатор имеет две обмотки, находящиеся на общем сердечнике. Магнитную проницаемость сердечника будем полагать постоянной. Параметры первичной обмотки R₁ и L₁ , вторичной — R₂ b L₂. Взаимная индуктивность между обмотками М. Сопротивление нагрузки, подключенной к зажимам вторичной обмотке, равно Z_н.

Выберем положительные направления токов I₁^* и I₂^*. Обозначим

напряжение на нагрузке U_н^*. Запишем уравнения в комплексной форме:

для первичной цепи: I₁^*R₁ + I₁^*jωL₁ + I₂^*jωM = E^*.

для вторичной цепи: I₂^*R₂ + I₂^*jωL₂ + I₁^*jωM + U_н = 0.

На рис. б качественно построим

векторную диаграмму, полагая, что нагрузка

Z_н = z_нe^jφ имеет индуктивный характер.

Ток I₂^* направим по оси +1. Напряжение на

нагрузке U_н опережает ток I₂^* на угол φ

Падение напряжения I₂^*R₂ совпадает по фазе

стоком I₂^* . Вектор I₂^*jωL₂ опережает вектор тока I₂^* на 90 °.

В соответствии с уравнением для вторичной цепи вектор I₁^*jωM проводим так, чтобы геометрическая сумма падений напряжений во вторичной цепи равнялась нулю.

Вектор тока I₁^* отстает от вектора I₁^*jωM на 90⁰. Вектор I₁^*R₁ совпадает с вектором тока I₁^* по фазе, а вектор I₁^*jωL₁ опережает вектор I₁^* на 90°.

Вектор I₂^*jωM опережает вектор I₂^* на 90°. В соответствии с урав­нением дял первичной цепи геометрическая сумма I₁^*R₁ + I₁^*jωL₁ + I₂^*jωM дает E₁*_.

Основные формулы: U_н^* = I₂^*Z_н = I₂^*( R_н + jX_н ); I₁^* = E₁^* / (( R₁ + R_вн ) + j( X₁ – X_вн )),

где R_вн и X_вн –вносимые из вторичного контура в первичный активное и реактивное сопротивление. и

Вносимые сопротивления представляют собой такие сопротив­ления, которые следоало бы "внести" в первичную цепь (включить последовательно с R₁ и X₁ ), чтобы учесть влияние нагрузки вторич­ной цепи трансформатора на ток в его первичной цепи (рис. в).

42. Топографическая диаграмма.

Топографическая диаграмма

–совокупность точек комплексной

плоскости, изображающих комплексные

потенциалы одноименных точек цепи.

Пример. Построить топографическую

диаграмму для схемы на рис. а к этому

вопросу, совместив ее с векторной диаграммой токов. Две ветви схемы связаны магнитно. Значения параметров: ωL₁ = 3 Ом; ωL₂ = 4 Ом; ωМ = 3 Ом; R₁ = R₂ = 2 Ом; E^* = 100 В. Решение. Обозначим токи в ветвях через I₁^* и I₂^* и ток в неразветвленной части схемы — через I^*. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для со­гласного включения катушек: I₁^*( R₁ +jωL₁ ) + I₂^*jωM = E^*; I₁^*jωM + I₂^*( R₂ +jωL₂ ) = E^*. Совместное решение их дает: I₁^* = 16e^-j60 A, I₂* = 14,27e^-j86,5. Топографическая диаграмма, совмещенная с векторной диаграммой токов, изо­бражена на рис. 6.