1. Законы Кирхгофа. Запись законов Кирхгофа в матричной форме.

1-ый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна 0 в любой момент времени. Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из этого узла.

Узловая матрица A_н =a[i,j], определяется следующим образом: строчками являются узлы схемы, а столбцами соответствующие ветви.

a_i,j=0, если j-ая ветвь не подсоединена к i-ому узлу.

a_i,j= +(-) 1, если j-ая ветвь подсоединена к узлу и направлена от узла (к узлу).

Запишем 1-ый з-н Кирхгофа с помощью матрицы:

А_н*i^в =0 i^в= - матрица столбец тока ветвей.

Система алгебраических ур-ний, соответствующая матричному, является системой зависимых ур-ний, т.к. любые ур-ния являются комбинацией других. Для получения линейно независимых ур-ний, один из узлов принимается за базовый, т.е. его потенциал равен нулю, тогда узловая матрица составляется для всех узлов кроме базового

А= => 1-ый закон Кирхгофа : A_н*i^в =0

2-ой закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре электрической цепи равна 0 в любой момент времени. Сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС в этом контуре.

Контурная матрица В =b_i,j определяется следующим образом: строчками являются главные контура, а столбцами ветви.

b_i,j = 0, если j-ветвь не входит в i-й контур.

b_i,j= +(-), если j-ветвь входит в i-й контур и направление ветви совпадает с направлением контура. Направление контура выбираем по направлению ветви связи (если направлено противоположно)

Запишем с помощью матрицы В 2-ой закон Кирхгофа: В* U ^в=0 (система линейно независимых уравнений)

2. Закон Ома для обобщенной ветви.

U _rk=i*_rk*r_k U_e=e_k

Найдем зависимость напряжения и тока

1-й закон Кирхгофа: I_k=I_{r k} - J_k

I_{r k}=(U_k-E_k)*g_k, g_k=1/(r_k)

I_k=(U_k+E_k)*g_k-J_k - закон Ома для обобщенной ветви

Напишем то же для напряжения:

U_k=(I_k+J_k)*R_k-E_k – обобщенный закон Ома для напряжения обобщенной ветви.

4. Метод узловых потенциалов. Запись узловых уравнении в матричной форме.

Д анный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева .

Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем .

Д опустим, что  и  известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а:

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

.

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

.

Аналогично можно записать для узла b:

.

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1.      В левой части i-го уравнения записывается со знаком “+”потенциал  i-го узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму проводимостей  ветвей, присоединенных к данному i-му узлу, и со знаком “-”потенциал  соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей  ветвей, присоединенных к i-му и k-му узлам.

Из сказанного следует, что все члены , стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”, причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2.      В правой части i-го уравнения записывается так называемый узловой ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к  i-му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

I_{r k}=(U_Rk)/R_k=U_Rk*g_k; где g_k=1/R_k- проводимость

I_Rk=(U_k+E_k)/R_k=(_i-_j-E_k)/R_k ;

A * I =0 (1 закон Кирхгофа);

I^B=G^B*U_R^B-J^B=G^B*(U^B + E^B)-J^B ; U_R= U^B + E^B

A *G^B*U^B+ A *G^B*E^B- A *J^B=0 ;

U^B=A^T*=G^B*(A^T*+ E^B)- J^B домножим на A

A * I^B = A *G^B* A ^T*+ A *G^B*E^B- A *J^B

В-ветви; У-узлы; G *=J узловое уравнение в матричном виде.

Замечание: Метод узловых потенциалов справедлив для схем в которых отсутствуют схемы с проводимостью равной нулю, т.е. нет короткозамкнутых цепей (g_i=, т.е. r_i=0)

Число ур-ний n_y-1<n_B