12. Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения. Ряд распределения. Функция распределения дискретной случайной величины.

Случайной называется величина, которая в результате опыта принимает значение заранее неизвестно какое. Значениями случайной величины может являться числа, а также объекты нечисловой природы (н-р, ответы респондентов в анкете с вариантами ответов да/нет). Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита (X,Y,Z,V,U и т.д.), а значение – соответствующими малыми буквами (x1, x_k, y_n, v₁₀₁ и т.д.)

Случайная величина характеризуется значениями, которое она может принимать и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующих им вероятностями называется Законом распределения случайной величины.

Случайная величина называется дискретной, если множество её возможны значений конечно или счётно (от 1 до 100).

Для дискретных случайных величин простейшей формой закономерности распределения является ряд распределения: это таблица, состоящая из 2-х строк; верхние строки перечисляют все значения случайной величины в порядке возрастания, а в нижней – соответствующие им вероятности.

х1 с вероятностью р1

Ʃ_kpi=1

Должна принять каждой случ. величине х.

Н-р: Пример для построения ряда распределения: монета подбрасывается 2 раза, случайная величина х – это число выпавших гербов. Построить ряд распределения:

ГГ, ГР, РГ, РР

х|0 |1 |2_

y|1/4|2/4|1/4

По формуле Бернулли: Р_2,1=С₂¹*(1/2)¹*(1/2)^2-1=(2!/2*1!)*1/4=2/4

Каждой случайной величине х можно сопоставить некоторую функцию, которую обозначают f(x) и которая для каждого х на всей числ. осн. задается равенством F(x)=P(X<x)^{-для любых х}_{Х большое принимате значение меньше, чем х малое, тогда функция f(x) – называется функцией распределения вероятности случайной величины Х или просто функцией распределения величины х.}

Графическое представление функции распределения (общий случай): график будет представлять собой ступенчатую, ломаную линию со скачками в точках x1,x2, величины скачков равны соответственно р1, р2, р3 и т.д. Левее х1 график совпадает с осью Ох, а правее последнего значения ступень на высоте 1 единицы.

Закон распределения является исчерпывающей характеристикой случайной величины, но не во всякой задаче нужно знать весь закон распределения, в ряде случаев для их решения можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения, такого рода числа называют числовые характеристики случайной величины.

13. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание или среднее значение дискретной случайной величины х, которое обозначается символом m_x.

m_x=p₀*x₁+p₁*x₂+p₂*x₂+p_k*x_k=^{(среднее значение)}Ʃ_kpx*xk

m_x=0*1/4+1*1/4+2*1/4=1.

Дисперсия дискретной случайной величины х. Обозначается D(x).

Называется число D(x)=(x₁-m_x)²*p₁+(x₂-m_x)²*p₂+(x_k-m_x)²*p_k+…=Ʃ_k(x_k-m)²*p_k

Дисперсия характеризует разброс отдельных значений случайной величины относительно её среднего значения.

Dx=(0-1)²*1/4+(1-1/2)²*2/4+(2-1)²*1/4=1/2.

Среднее квадратическое отклонение, обозначается (мат.сигма)Ϭх

Ϭх=√Dх

Ϭx=√1/2