7. Несовместные и совместные события. Теорема сложения вероятностей.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. Несовместные события – если появление одного исключает появление другого.

Теорема: вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность совместного осуществления этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В). Если события несовместны, то P(A*B)=0. И для несовместных событий теория сложения: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Если А1,А2,А3 – совместные события (их 3), то: Р(А1+А2+А3)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)-Р(А1*А2)-Р(А1*А3)-Р(А2*А3)+Р(А1*А2*А3).

Если четыре и больше событий, то так же, но еще и тройные +, а четверное -. Если события не совместны, то: Р(А1+А2+А3)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3).

Н-р, 2 студента сдают зачет. Вероятность, что 1ый сдаст = 0,7. Вероятность, что 2ой сдаст = 0,8. Найти вероятность, что зачет сдаст хотя бы 1 студент. Решение: С={сдал хотя бы один студент}

А={сдает первый} Р(А)=0,7.

В={сдает второй} Р(В)=0,8.

С=А+В (т.к. «или» «либо») они совместны, т.к. могут сдать и оба

Р(С)=Р(А+В)=0,7+0,8-Р(А*В)=1,5-0,7*0,8=0,94.

8. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула полной вероятности.

Пусть известно, что событие А может произойти вместе с одним из событий, которые исключают друг друга (несовместные) и образуют полную гр. (хотя бы одно из них должно произойти), которые будем называть гипотезами и обозначать символами H_i.

Тогда вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующую вероятность события А при этой гипотезе.

Р(А)=ⁿ_i=1­ƩР(H_i)*P(A/H_i­). ⁿ_i=1­Ʃ _{от 1 до n}- сумма

Это формула полной вероятности.

Формула Байеса (теорема Байеса).

Если до опыта вероятности гипотез H1,…,Hn, которые исключают друг друга и образуют полную гр., были известны и равны соответственного P(H1),…,Р(Нn), а в результате опыта произошло событие А, то новые условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:

Р(H_i/A)=P(H_i)*P(A/H_i)/ P(A/H_i) – краткий вид.

Р(H_i/A)=P(H_i)*P(A/H_i)/ ⁿ_i=1­ƩР(H_i)* P(A/H_i) – развернутый вид.

Смысл: если произошло событие А, можно уточнить вероятности гипотез. Имел место факт.

9. Независимые опыты. Однородные опыты. Формула Бернулли.

Повторение опытов. Под повторением опытов называется многократное воспроизведение одного и того же случайного явления. Н-р, бросание монеты, анкетирование.

В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие А.

Опыт называется независимым, если вероятность появление события А в каждом из опытов не зависит от того, появилось ли событие А в других опытах.

Опыт называется однородным, если вероятность появления события А в каждом из опытов одинакова. Иначе, опыты называются неоднородными.

Далее будем рассматривать решение задач для самого простого случая: опыты независимые и однородные.

3 основные задачи:

Задача №1: Найти вероятность того, что в n опытах событие А наступит ровно m раз.

P_n,m – обозначение данной вероятности.

Для расчета P_n,m чаще всего используют формулу Бернулли, локальную теорему Муавра-Лапласа и формулу Пуассона.

Формула Бернулли:

Pn,m=C_n^m×p^m×q^n-m

C_n^m – сочетание из n по m

p – вероятность наступления события А в каждом опыте

q – 1-p

Н-р: Кубик (кость) подбрасывается 10 раз. Найти вероятность, что цифра 5 выпадет 3 раза. Решение:

5 вопросов:

1. Что такое опыт? (бросаем кубик, n=10)

2. В чем состоит событие А? (выпала 5, m=3)

3. Независимость? (есть)

4. Однородность? (есть, p=1/6)

5. Формула? (из 3-х возможных – Бернулли)

P_10,3=C₁₀³×(1/6)³×(5/6)⁷

C₁₀³=10!/3!*7!=8*9*10/1*2*3=120.

Формулу Бернулли удобно применять, когда число испытаний n невелико. (*рекомендовано npq<20 – необязательное условие)