5. Соединения элементов: размещения, перестановки и сочетания.

Пусть у нас есть некоторое множество объектов 1,2,3,…, n.

Произвольную упорядоченную выборку, возможно, с повторениями из этих элементов будем называть соединением (н-р, 3, 8, 1, 5.)

Есть 3 способа 3 основных способа образования соединений:

1. Размещение из n по m (n>=m) – это такие соединения, в каждый из которых входит m элементов, взятых из данных n элементов и отлич. др. от др. самими элементами ил порядком их расположения. Н-р, n=3,m=2,n:1,2,3; 12,13,23,32,31,21 (отличаются и составом и порядком) A₃²=6

Число размещений из n элементов по m обознач.A_n^m

Общая формула для расчета числа размещений Am/n=n!/(n-m)!, где ! – факториал, n! – число.

Н-р,А2/3=3!/(3-2)!=1*2*3/1=6

В размещение важен порядок !

Н-р, А,Б,В,Г,Д (5 карточек с буквами) рассыпаны произвольно. Наугад выбрали 3 и разложили. Какова вероятность, что будет «ДВА». Решение: Событие А {ДВА} (порядок важен -> размещение)

N=A₅³=5!/(5-3)!=1*2*3*4*5/1*2=3*4*5=60 -> всего равновозможных вариантов.

Z=1. P(A)=1/60.

2. Перестановка из n элементов – это соединение, содержащее все n элементов и отличающееся между собой лишь порядком элементов.

Н-р, n=3. 123,231,312,321,231,132. P₃=6. P₃=1*2*3=6/

Число перестановок из элементов обозначается Pn.

Pn=n! Формула Pn=А_nⁿ

Н-р. Для дежурства в классе в течении недели, кроме вс, выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурства, если каждый учащийся дежурит 1 раз.

n=6, P=6!=1*2*3*4*5*6=720. Ответ: 720.

3. Сочетание из n элементов по m (n>=m) – это соединения, в каждом из которых входит m элементов, взятых из данных n элементов и отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом.

! Здесь порядок не важен !

n=3,m=2, n:1,2,3. 12,13,23. C₃²=3/

C_n^m – обозначение. С_n^m=n!/(n-m)!*m!

Н-р. Сколькими способами можно выбрать 3-х дежурных из группы в 20 человек (порядок не важен).

n=20, m=3. C₂₀³=20!/(20-3)!*3!=20!/17!*3!=18*19*20/1*2*3=1440. Ответ: 1440.

Если порядок важен, то A₂₀³=20!/17!=1440*6=6840.

6. Независимые и зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Н-р. Монета брошена два раза. Вероятность появления «герба» в первом испытании (событие А) не зависит от появления или не появления «герба» во втором испытании (событие В). В свою очередь, вероятность появления «герба» во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события А и В независимые.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события В, вычисленная в предположении осуществления другого события А, называется условной вероятностью события В и обозначается P{B|A}.

Условие независимости события В от события А записывают в виде P{B|A}=P{B}, а условие его зависимости – в виде P{B|A}≠P{B}.

Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим А извлечение изношенного резца в первом случае, а Ᾱ - извлечение нового. Тогда P{A}=2/5, P{Ᾱ}=1-2/5=3/5.

Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим В событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими: P{B|A}=1/4, P{B|Ᾱ}=2/4=1/2.

Следовательно, вероятность события В зависит от того, произошло или нет событие А.

Теорема умножения вероятностей:

Вероятность произведения 2-х событий равна произведение вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое произошло.

P(A*B)=P(A)*P(B|A) – (| или / значит «при условии что»)

Н-р. У препода на столе 50 билетов. Из них 30-хорошие, 20-нехорошие. Экзамен сдают два студента. Событие А {1ый студент взял хороший билет}, событие B {2ой студент взял хороший билет}.

Вводим событие C {оба студенты взяли хороший билет}. С=А*В (т.к. и А, и В должны произойти, чтобы произошло С). Р(А*В)=30/50*29/49=ответ.

Если рассматривать 3 и более событий, то вероятность произведения этих событий определяется по формуле:

P(A1*A2*A3)=P(A1)*P(A2/A1)*P(A3/(A1*A2))

Н-р, событие С {3 студента взяли хорошие билеты}. Р(С)=30/50*29/49*28/48.

Если события А и В независимы, то вероятность произведения их равна произведению вероятностей этих событий.

P(B/A)=P(B), если А и В независимы, тогда P(A*B)=P(A)*P(B).

Н-р. P(A*B)=30/50*30/50.

Если 3 и больше независимых событий, то P(A1*A2*A3)=P(A1)*P(A2)*P(A3).