33. Вычет в изолированной особой точке

Если точка а о.и. точка f(z),коэфициент

Вывод: Вычет это есть C_-1 коэффициент.

Выч[f(z),a]= C_-1.

Если точка а правльеная точка, то главной части в р.Л. нет, следует Выч[f(z),a]=0 для точки а (устранимой или правельной).

Если точка а- из.о. точка другого типа то вычит может быть любым полюсом.

Если а= то Выч[f(z),a]= -C_-1. Минус из-за обхода по часовой стрелке.

Теорема.

П усть f(z) аналитич-на во всех точка плоскости за исключением a_N=, тогда

Доказательство.

Из сопоставления определения вычита в бесконечности и вычетов в конечной точке.

Утверждение.

Если функция f(z) имеет в точке z=a простой полюс, то вычет в этой точке равен

док-во

Т.к. а – простой полюс, то ряд Лорана имеет вид

-аналитическая функция в окрестности точки а.

Утверждение2.

Если функция f(z) имеет в точке z=а полюс порядка m, то вычет в этой точке равен

Доказательство:

Разложим в ряд Лорана

умножим на (z-a)^m

34. Вычисление вычетов в изолированной особой точке

35. Основная теорема о вычетах

П усть точка а 0 правельная или изолированная особая точка f(z) однозначная ФКП и пусть С простой контур(обходящийся 1 раз в положительном направлении ) и такой, что функция f(z) является аналитичной на контуре и внутри за исключением быть может самой точки а=> тогда величину называют вычетом f(z) в точке а и обозначают Выч[f(z),a].

Теорема Основная о вычетах.

П усть f(z) аналитичная функция вD за исключением изолирован-ных точек а₁,а₂,…,а_nD =>тогда для любого простого замкнутого контура C охватывающего все точки величина

по это формуле считаются контурные интегралы.

Доказательство: Пусть С – простойконтур на которой f(z)- аналитичная функция. Пусть внутри С f(z) аналитична, кроме точек а₁,а₂,…,а_n.

Проведем окружности С₁,С₂,…,С_n с центрами в точка а₁,а₂,…,а_n такчтобы окружности друг друга не касались. По теореме Коши для составного контура имеем.

36. Вычет в бесконечно удаленной точке. Вторая теорема о вычетах

37. Вычисление определенных интегралов вида ∫_-∞^+∞f(x)dx

38. Вычисление определенных интегралов вида ∫_-∞^+∞f(x)eiaxdx, a>0

39. Вычисление определенных интегралов вида ∫₀^2πR(cos(x),sin(x))dx

40. Пространство функций L₂[a,b]

41. Аппроксимация функций линейной комбинацией ортогональных функйий в пространстве со скалярным произведением

42. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля

Неравенство Бесселя

Рассмотрим кусочно непрерывную функцию f (x), заданную в интервале [−π, π]. Ее разложение в ряд Фурье имеет вид

В неравенстве Бесселя устанавливается, что

Отсюда следует, что ряд   сходится.

Равенство Парсеваля

Если f (x) является квадратично интегрируемой функцией в интервале [−π, π], так что выполняется соотношение

то неравенство Бесселя становится равенством. В этом случае справедлива формула Парсеваля:

Формула Парсеваля в комплексной форме

Снова предположим, что f (x) является квадратично интегрируемой функцией в интервале [−π, π]. Пусть c_n − ее комплексные коэффициенты Фурье, то есть

где

Тогда формула Парсеваля записывается в виде