- •Определение двойного интеграла
- •Свойства двойного интеграла
- •Приведение двойного интеграла к повторным в случае прямоугольной области
- •Приведение двойного интеграла к повторным в случае криволинейной области
- •Замена переменных в двойном интеграле
- •Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
- •Двойной интеграл в полярных координатах
- •Вычисление объема с помощью двойного интеграла
- •Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла
- •Тройной интеграл и его свойства
- •Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •Замена переменных в тройном интеграле
- •Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат
- •Криволинейные интегралы первого рода. Свойства
- •Вычисление криволинейных интегралов первого рода
- •Криволинейные интегралы второго рода. Свойства. Вычисление
- •Теорема Грина-Римана
- •Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (случай плоской кривой)
- •Поверхностный интеграл первого рода. Свойства. Вычисление
- •Поверхностный интеграл второго рода. Свойства. Вычисление
- •Теорема Остроградского –Гаусса
- •Теорема Стокса (без доказательства). Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (случай пространственной кривой)
- •Элементы теории поля
- •Множество комплексных чисел. Стереографическая проекция
- •Дифференцируемость функции комплексного переменного
- •Условия Коши-Римана
- •Интеграл от функции комплексного переменного. Свойства. Вычисление
- •Теоремы Коши для аналитической функции в односвязной области
- •Теоремы Коши для аналитической функции в многосвязной области
- •Интегральная формула Коши для аналитической функции
- •Ряд Тейлора аналитической функции
- •Изолированные особые точки аналитической функции
- •Вычет в изолированной особой точке
- •Вычисление вычетов в изолированной особой точке
- •Основная теорема о вычетах
- •Ортогональность тригонометрической системы функций
- •Ряд Фурье по тригонометрической системе функций . Теорема Дирихле
- •Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций
- •Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме
- •Прямое и обратное преобразование Фурье
Определение двойного интеграла
Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) D – произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь D, то Si – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн . В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (i , Di) Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D 0 , то число n областей Di . Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I = f(i, Di)Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной суммы.
Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при 0. Обозн:
или
Свойства двойного интеграла
1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.
2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то она интегрируема и в G.
3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2 области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то:
4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов:
5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в Д. Если g(x,y) 0 то и f/g интегрируема в Д.
6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <= g(x,y), то:
В частности: g(x,y) >=0 то и
7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем
обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует интегрируемость f.
8. Теорема о среднем значении.
Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (, ) Д, что:
(2), где S – площадь фигуры Д. Значение f(, ) опред по ф-ле (2) наз. средним значением ф-ции f по области Д.
Приведение двойного интеграла к повторным в случае прямоугольной области
Приведение двойного интеграла к повторным в случае криволинейной области
Замена переменных в двойном интеграле
Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается. Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой
где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле означает абсолютное значение соответствующего определителя. Предполагая, что преобразование координат является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом
при условии, что знаменатель нигде не равен 0. Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:
Найти образ S в новой системе координат для исходной области интегрирования R;
Вычислить якобиан преобразования и записать дифференциал в новых переменных ;
Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки и .