23. Множество комплексных чисел. Стереографическая проекция

24. Дифференцируемость функции комплексного переменного

25. Условия Коши-Римана

Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.         В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.         Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.          Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Условие Коши-Римана.

Теорема: если  производная f^/(z), то выполняется условие =>

Доказательство: Пусть  f^/(z)<=>

По любому направлению z->0 и не зависит от этого стремления. z=x+iy=> в частности, z=x->0 и z=iy->0, т.е. по направлению ||Ox или || Oy

26. Интеграл от функции комплексного переменного. Свойства. Вычисление

27. Теоремы Коши для аналитической функции в односвязной области

28. Теоремы Коши для аналитической функции в многосвязной области

(25-27)

не зависит от пути интегрирования при 

Т еорема Коши: Если функция f(z) – аналитична в односвязной области G, ограниченная замкнутая контуром С, а также и на контуре С, то:

Доказательство: Пусть f(z) непрерывна.

Эти два интеграла тоже, что и криволинейный интеграл 2-го рода.

Так как f(z) аналитична выполняется условие Коши-Римана.

П осле подстановки условий К-Р можно сделать

вывод, что

( Теорема верна без предположения, что f(z) непрерывна) .

Пункт 2. Пусть область G многосвязная.

Рассмотрим многосвязную область G, ограниченную внешним контуром С₀ ивнутренними контурами С₁,С₂,…,С_n.

Пусть f(z)- аналитичная в области G и на контурах С₁,С₂,…,С_n. (С=С₀С₁… С_n).

Пусть

По замкнутому контуру С_k , обходится против часовой стрелки.

Соединим контура между собой дугами Область G разобьется на две односвязные области Г^/ и Г^// которые ограничиваю две односвязные области. Функция f(z) аналитична на контурах Г^/ и Г^// и в односвязных облостях которые они ограничивают. Из теоремы коши будем иметь:

При сложении интегралов в левой части интегралы

сократятся в силу того, что при обходе по первому контуру мы берем их со знаком плюс при обходе по второму контуры берем со знаком минус.

Пункт 3. Если интеграл f(z) по любому замкнутому контуру расположенному внутри области G равен 0 то интеграл по любой дуге принадлежащей G зависит только от начальной и конечной точек этой дуги и не зависит от пути интегрирования. Т.е. одинаков для всех дуг, имеющих общую начальную и конечную точки.

Доказательство:

Интеграл ФКП, его свойства. Методы вычисления Интеграла ФКП.

Вычисление интеграла от функции f(z) комплексного переменного z сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов, а именно:

где С кусочно-глаткая замкнутая или незамкнутая ориентированная кривая, лежащая в D.

Если f(z) аналитическая функция в односвязной области D, то интеграл не зависит от пути интегрирования. В этом случае

Если кривая С задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t) и начальные и конечные точки дуги С соответствуют значения параметра t₀ и t₁, то

где z(t)=x(t)+iy(t).

Все свойства интегралов сохраняются для(такие как умножение на const…).

Если функция f(z) аналитична в односвязной D, содержащей точки z₀ и z₁, то имеет место формула Ньютона-Лейбница.

где (z)-какая-либо первообразная для функция f(z), т.ч. в области D  ^/(z)= f(z)

Также имеет место: интегрирования по частям, и замены переменной.