- •Определение двойного интеграла
- •Свойства двойного интеграла
- •Приведение двойного интеграла к повторным в случае прямоугольной области
- •Приведение двойного интеграла к повторным в случае криволинейной области
- •Замена переменных в двойном интеграле
- •Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
- •Двойной интеграл в полярных координатах
- •Вычисление объема с помощью двойного интеграла
- •Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла
- •Тройной интеграл и его свойства
- •Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •Замена переменных в тройном интеграле
- •Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат
- •Криволинейные интегралы первого рода. Свойства
- •Вычисление криволинейных интегралов первого рода
- •Криволинейные интегралы второго рода. Свойства. Вычисление
- •Теорема Грина-Римана
- •Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (случай плоской кривой)
- •Поверхностный интеграл первого рода. Свойства. Вычисление
- •Поверхностный интеграл второго рода. Свойства. Вычисление
- •Теорема Остроградского –Гаусса
- •Теорема Стокса (без доказательства). Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (случай пространственной кривой)
- •Элементы теории поля
- •Множество комплексных чисел. Стереографическая проекция
- •Дифференцируемость функции комплексного переменного
- •Условия Коши-Римана
- •Интеграл от функции комплексного переменного. Свойства. Вычисление
- •Теоремы Коши для аналитической функции в односвязной области
- •Теоремы Коши для аналитической функции в многосвязной области
- •Интегральная формула Коши для аналитической функции
- •Ряд Тейлора аналитической функции
- •Изолированные особые точки аналитической функции
- •Вычет в изолированной особой точке
- •Вычисление вычетов в изолированной особой точке
- •Основная теорема о вычетах
- •Ортогональность тригонометрической системы функций
- •Ряд Фурье по тригонометрической системе функций . Теорема Дирихле
- •Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций
- •Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме
- •Прямое и обратное преобразование Фурье
Теорема Остроградского –Гаусса
Теорема Стокса (без доказательства). Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (случай пространственной кривой)
(20-21)Теорема ОстроГаусса. Поток векторного поля через гладкую замкнутую поверхность в направлении ее внешней нормали равен тройному интегралу по области ограниченной указанной поверхностью от дивергенции векторного поля F
Формула Стокса. Рассмотрим в пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности , край которой образуется кусочно-гладкой кривой . Выберем положительную сторону поверхности (из конца единичного вектора нормали обход границы представляется против часовой стрелки). Для циркуляции векторного поля вдоль контура границы имеет место формула Стокса: , где - компоненты векторного поля, - направляющие косинусы вектора нормали.
Теорема:
D – односвязная замкнутая область плоскости OXY. Функции P и Q непрерывны вместе со своими частными производными 1го порядка в области D и на её границах.
Тогда следующие 4 условия равносильны:
1)
2) Криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования 0
3)
4) P(x,y)dx+Q(x,y)dy – являются полным дифференциалом некоторой функции U(x)
Элементы теории поля
векторное поле. Если каждой точке М пространства ставится в соответствие вектор , то говорят, что задано векторное поле (поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности). В декартовой системе координат векторное поле можно записать в виде: .
Скалярные функции однозначно определяют векторное поле. Векторное поле может быть плоским, если сферическим, когда , , цилиндрическим, когда ,
Векторные линии (линии тока). Для наглядного представления векторных полей используют векторные линии (линии тока). Это кривые, в каждой точке которых вектор является касательным вектором. Через каждую точку М проходит одна линия тока. За исключением точек, где поле не определено или , линии тока никогда не пересекаются. В декартовых координатах дифференциальные уравнения линий тока имеют вид:
Скалярное поле. Если каждой точке М пространства ставится в соответствие скалярная величина u(M), то возникает скалярное поле (например, поле температуры, поле электрического потенциала). Если введены декартовы координаты, то обозначают также u(x,y,z) или . Поле может быть плоским, если u=u(x,y) , центральным (сферическим), если , цилиндрическим, если Поверхности и линии уровня. Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это поверхности в пространстве, на которых u принимает постоянное значение. Их уравнение: u(чбнбя)=const . В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение: u(x,y)=const. В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня в точки и кривые.
Теорема. Для того, чтобы поле V было соленоидальным необходимо и достаточно, чтобы div V = 0.
Необходимость. Если V = rot W, то непосредственной проверкой можно убедиться, что div V = 0 (div rot W = 0).
Достаточность. Будем искать частное решение уравнения V = rot W.
(P,Q,R)= или .
Решение будем искать среди полей, удовлетворяющих условию c = 0. Тогда система упростится и примет вид
Первое и второе уравнения интегрируем по z
b = - , a = - .
Еще раз сузим множество поиска, полагая y = 0. Дифференцируя полученные уравнения по x и по y, получим
, .
Откуда получим
Таким образом, , откуда
Частное решение найдено в виде
Где D – произвольная, непрерывно дифференцируемая функция одного переменного.
Замечание 1. Если W векторный потенциал поля V , то W1 = W + grad u также будет векторным потенциалом для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции u.
Замечание 2. В случае соленоидального поля поток этого поля через любое сечение векторной трубки постоянен.
Действительно, по формуле Остроградского Гаусса (V,dS)= 0 , кроме того (V,dS)= 0. Откуда (V,dS)+ (V,dS) = 0 или (V,dS)= (V,dS).