23. Сложение и умножение целых чисел. Свойства этих бао.

Суммой двух целых чисел альфа и бета с представителями (а1, в1) и (а2, в2) называют число альфа + бета с представителями (а1+а2, в1+в2). 2+(-5)=(2-0)+(1-6)=(2+1)-(0-6)

Теорема о конкретности определения.

Док-во: надо проверить, что сумма не зависит от выбора представителя. Введем новые, представители (а1,в1) и (а2,в2) тех же чисел альфа и бета, т.к.

( а1,в1) f (а2,в2), то а1+в1=в1+а1, а2+в2=в2+а2. Найдем сумму альфа и бета при помощи новых

п редставителей получим пару (а1+а2, в1+в2) проверим, что эта пара эквивалентности старой без, т.е.

(0 ^' 1+0 ' 2, в ' 1+ в ' 2)f(а1+а2, в1+в2), т.е. (а ' 1 + а ' 2) + (в1+в2)=(в ' 1+ в'2)+(а1+а2).

Достаточно рав-ва сложить и преобразовать.

Теорема о сво-х сложения

Гамма(петля)

Св-ва: ВСЕГДА

1⁰ альфа + бета = бета + альфа (коомуникативность)

2⁰ (альфа + бета) + гамма=альфа+(бета+гамма) (ассоциативность)

3⁰ альфа+омикрон(о с петлей сверху)=альфа (омикрон нейтр. Эл)

Deff: числом, противоположным числу альфа с представителями (а,в), называется число – альфа с представителями (в,а)

4⁰ альфа+(-альфа)=омикрон

5⁰ омикрон – альфа= - альфа

6⁰ (альфа+бета)=(-альфа)+(-бета) число противоположное суммк, равно сумме противоположному числу

7⁰ альфа+гамма=бета+гамма, то альфа=бета

Док-во:

1⁰ альфа:(а1,в1)

Бета:(а2,в2) тогда альфа+бета:(а1+а2), (в1,в2), бета+альфа:а2+а1, в2+в1 = (над знаком равно коммуникативность) (а1+а2), (в1+в2) ч.т.д.

2⁰ аналогично

3⁰(-альфа):(в,а)

4⁰ альфа + (-альфа) : (а,в), (в,а)f(0,0) – представитель по омикрону.

Умножение в множестве целых неотрицательных чисел

Опред:произвед чисел альфа и бета с представителями (а1,в1), (а2,в2) наз целое число альфа бета с представит (а1*а2+в1*в2), (а1*в2+в1*в2). Можно доказать конкретность этого определения.

Теорема о св-х умножения. БАО всегда

1⁰альфа*бета=бета*альфа

2⁰ (альфа*бета)*гамма=альфа*(бета*гамма)

3⁰ альфа * омикрон

24.Вычитание и деление целых чисел (бао и частичное бао).Свойства.

Разностью чисел αм и β называется число α-β=α+(-β)

Теорема: Вычитание-БАО, обратная сложению.

Док-во

Рассмотрим ур-еβ+χ=α, где α и β-целые числа, χ-?

Рассмотрим это ур-е.Оно имеет решение

Χ= α+(-β):

Л.ч.=β+χ=β+( α+(-β))=( α+(-β))+β=α+((-β)+β)=α+Ợ=α=п.ч

Это решение единственно: если χ1,χ2 произв. решение ур-я, то из системы числовых равенств β+χ1=α, β+χ2=α получим β+χ1=β+χ2, откуда χ1=χ2

0⁰=β+(α-β)-разность

Теорема о св-вах вычит.:

1⁰ α-Ợ=α

2⁰α-α=Ợ

3 (α+β)-ɤ=(α-ɤ)+β=α+(β-ɤ)-свойство вычитания числа из суммы

4 α-(β+ɤ)=(α-β)-ɤ-св-во вычитания суммы из числа

5(α-β)-ɤ=(α-ɤ)-β=α-(β+ɤ)-правило вычитания числа из разности

6α-(β-ɤ)=(α-β)+ɤ-правило вычитания разности из числа

Док-во:

1 α-Ợ=α

Т.к. вычитание обратно сложению,то можно проверять вычитаемое+разность=уменьшаемому

Верно ли,что Ợ+α=α верно

2.α-α=Ợ

α+(Ợ)=α-см. сложение

3(α-β)-ɤ=(α-ɤ)+β

ɤ+((α-ɤ)+β)=α+β

л.ч=(α+(β-ɤ))+ɤасс.=α+((β-ɤ)+ɤ)=комм.=α+β=п.ч. ит.д.

деление целых чисел

Егомы введем как частичную операцию обратную умножению.

Рассмотрим уравнение β*χ

β≠Ợ

χ-?

Теорема:

Док-во обычное

Единственное решение этого уравнения будем обозначать χ=α:β и называть частичным от деления делимого α от делителя β.

Справедливо

0 β*(α:β)=α-эти свойства имеют смысл всегда,когда есть смысл

1 α:ε=α-ε-правый нейтральный элемент

2.α:α=ε (неимеет смысла, когда α≠0)

3.(α*β):ɤ=(α:ɤ)*β=α*(β:ɤ)св-во деления произведения на число

4 α:(β*ɤ)=(α:β):ɤ

5. (α:β):ɤ=(α:ɤ):β=α:(β*ɤ)правило деления числа на произведение

6 α:(β:ɤ)=(α:β)*ɤ