19. Умножение в Nо и его св-ва
a*0=0 по определению
a*s(b)=a*b+a, по опред
теорема о св-х умножения:
(a+b)*с=ас+ bс - правая дистрибутивность умнож-я относительно сложения
левая дистрибутивность
0*а=0 0-поглощающий элемент
1*а=а
а*1=а 1-нейтральный элемент
5. а* b= b*а коммутативность
6. (а* b)*с=а*( b*с) ассоциативность
Док-во:
1. если с=о, то (а+ b)*с=а*о+ b*о - верно, тк (а+ b)*о=о по опред, а*о=о, b*о=о по тому же опред-ю о+о=о
Лемма:
Дано(a+b)*с=ас+ bс при некотором с
Док-ть: (а+b)*s(с)=а*s(с)+ b*s(с)
Док-во: л.ч.(по опр)=(а+b)*с+а+b=(ас+bс)+(а+b)=…(ас+а)+(bс+b)
2. а*(b+с)=?аb+ас индукция по с
Берем с=0 и убеждаемся, что равенство а*(b+0)=а*b+а*0 – верно
л.ч.=а*(b+с)=а*s(b+с)
п.ч.=а*b+(ас+а)=(аb+ас)+а=а*s(b+с)
3. 0*а=0 индукция по а; при а=0 0*0=0 - верно по опред.
Лемма. Дано: 0*а=0 при некотором а
Д-ть: 0*s(а)=0
Д-во: самим
4. 1*а=а индукция по а при а=0 1*0=0 верно по опр-ю
Лемма. Дано:1*а=а при некотором а
Д-ть: 1*s(а)=s(а)
Д-во: л.ч.=1*s(а)=1*а+1=а+1=s(а)=п.ч.
а*1=а
л.ч.=а*s(а)=по опр а*0не равно а=0+а=а=п.ч.
5. а*b=?b*а индукция по b
Если b=0, то а*0=0 верно, тк 0-поглощ элемент
Лемма. Дано:а*b=b*а при некотором b
Д-ть: а*s(b)=s(b)*а
Д-во: л.ч.=а*b+а
п.ч.=(b+1)*а=b*а+1*а=а*b+а=л.ч.
20. Вычитание и деление в n0
Теорема о свойствах вычитания
а-0=а 0-правый элемент вычитания
а-а=0
Правила вычитания числа из суммы (а+в) –с=(а-с)+в=а+(в-с)
Правило вычитания суммы из числа а-(в+с)=а-в-с
Правила вычитания числа из разности (а-в)-с=(а-с)-в=а-(в+с)
Правило вычитания разности из числа
а-(в-с)=а
Док-во (а-в)+с
так как вычитание частичная операция обратно сложению, то вместо доказательства свойств вида умн-вычитание=разность
Можно проверять, что вычитание+разность=умн
а-0=а
Верно ли, что вычитание (0) + разность =а-верно смотри св-ва сложения
а-а=0
а+0=а верно см сво-ва сложения
(а+в)-с=(а-с)+в
с+((а-с)+в)=а+в
л.ч. с+(а-с)+в=9а+в) по ассоциат.
(а+в)-с=а+(в-с)
с+а+(в-с)=а+в
л.ч. (с+а)+(в-с=коммут(а+с)+(в-с)=а+(с+(в-с))=а+в пр.ч.
4. а-(в+с)=(а-в)-с
(а-в)-с=(а-с)-в
ум в разность
Проверим что
с+((а-с)-в)=а-в
Проверим что
в+(с+((а-с)-в))=а
В+с+((а-с)-а)по ассоц=с+(в+((а-с)-в))0 с нулем п.ч.
(а-в)-с=а-(в+с)
Верно ли, что с+(а-(в+с))=а-в
Верно ли в+(с+(а-(в+с)))=а
в+с+(а-(в+с)) равно а=п.ч
а-(в-с)=верно ли=(а-в)+с
л.ч.=(в-с)+(с+(а-в))по ассоц=((в-с)+с)+(а-в)по коммут=в+(а-в)=0 с нулем=а
Аналогично можно рассмотреть вопрос о делении.
21 Закон трикомитрии и порядок в n0. Не уверена что он до конца!!!!!
Опред: в параграфе о сложении могла быть док-а теорема о трикотомии сложения: каковы бы ни были числа а и в для них выполн одно и только одно из трех утверждений:
а=в
сущест-ет u не равное 0 (такие числа принято назыв натур число) такое, что а+ u=в
сущ-ет натур v такое, что а=в+ v
по опреде в случае 2. считают что а меньше в, а в случае 3 – что а больше в
о порядке N0
Теорема
Отношение больше отношения строго линейного порядка на N0
Док-во
Порядок транзитивности и антисеммитричности.
Надо проверить (док-ть), что из а больше в, в больше с всегда следует а больше с, по условию а больше в, т.е. сущ-ет нат u такое что а=в+ u. Аналогично условие в больше с даст рав-во в =с+ v
Т
огда
а=в+ u=(с+
v)+
u=
(над знаком равно ассоциативность) с+(
v+
u) а
больше с проверим антисеммитричн
отношение больше. надо убедиться, что
а не равно в из а больше в всегда
в не больше а
док-во от противного
если вдруг случилось, что а не равно в, что а больше в при этом в больше а тогда по транзитивн из а больше в, в больше а вытекает а больше а получаем противоречие с законом трикотомии. Этот поряд строгий т.к. всегда не верно а больше а . о связанности – это и будет означ линейн порядок. По законам трикотомии 2. (см выше) либо а больше в либо в больше а