7 Теорема о том, что мощность мн-ва (квадратные скобки) (0,1) больше счетной.

Докажем, что мощность отрезка (квадратные скобки) (0,1) больше мощности N.

От противного, предположение что точек на отрезке счетное мн-во. В этом случае их можно расположить в виде последовательности

В этой последовательности представлены все числа отрезка (квадратные скобки) (0,1)

А теперь покажем что это не так

Число

Число не совпадает ни с одним из чисел этой последовательности, полученное противоречие говорит о том, что наше предположение не верно, а значит что на отрезке точек больше чем в N.

PS в док-ве маленькая легкоустранимая неточность

PS мы знаем что мощность модуль В(А) конечного мн-ва А больше мощности мн-ва А. для бесконечного мн-в это соотношение также имеет смысл.

8. Бинарное отнош-е как частный случай соответствия между множ-вами.

Если f – соответствие между равными множ-вами А и В (А=В, если они состоят из одинаковых элементов), то вместо слов «соотв-е f между А и В = А» будем говорить короче: элем-ты множ-ва А наход-ся в бинарном отнош-и f. Запись «а f в» теперь читаем так: элем-ты а и в связаны отношением f. Понятия образа, прообраза, графа, графика, области опред-я, области знач-я и др вполне применимы к бинарным отнош-ям.

Отнош-е f РЕФЛЕКСИВНО, если всегда а f а. Отнош-е f СИММЕТРИЧНО, если из а f в следует, что в f а. Отнош-е f ТРАНЗИТИВНО, если из а f в, в f с следует, что а f с. Отнош-е f АНТИРЕФЛЕКСИВНО, если всегда а f а («f» ЗАЧЕРКНУТЬ!). Отнош-е f АНТИСИММЕТРИЧНО, если при а≠в из а f в следует, что в f а («f» ЗАЧЕРКНУТЬ!).

Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка. Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.

В обыденной жизни суждения типа «Слова "ночь" и "день" содержат одинаковое число букв» приводят к бинарным отнош-ям на множ-ве. Это суждение определяет бинарное отнош-е f на множестве X всех слов: x f y, если число букв в словах x и y одинаково.

ПРИМЕРЫ:

1) А=в=N={1,2,3}. Пусть а f в, если а и в – взаимнопростые числа. 3 f 8 (у них единствен общ делитель 1). 4 f 9, 1 f n, n f (n+1) (действительно, если а – любой общ делитель этих чисел, то он будет делителем их разности (n+1)=n=1), но не 2 f 4, 18 f 32 и т.д. Это f НЕРЕФЛЕКСИВНО из-за (2), но не АНТИРЕФЛЕКСИВНО из-за (1). f СИММЕТРИЧНО (общ делитель один). Нетранзитивно: контрпример 3 f 8, 8 f 9.

2) А – все мы, а f в, если: а) а хотя бы раз видел в; б) а старше в. Изучим св-ва f по полной программе:

1. D(f)=А → f всюду определено.

2. Е(f)=А, т.к. каждого из нас кто-то из присутствующих видел, → f сюръективна.

3. f не функция, из-за меня f не отображение, не биекция.

4. f не инъекция, т.к. меня многие видели.

f рефлексивно, симметрично, транзитивно, → f – отнош-е эквивалентности.

2-й случай:

D(f)=А, кроме самой младшей → f не всюду определено → f не отображение и не биекция.

Е(f)=А, кроме самой старшей → f не сюръекция → f не функция (из-за самой старшей), f не инъекция (из-за самой младшей).

f антирефлексивно, f не отнош-е эквивалентности.

f антисимметрично, транзитивно.

ПРИМЕЧАНИЕ (для себя): сюрьективное – когда у кажд элем-та в множ-ве Y есть "друг" в Х, значит, у всех элем-тов множ-ва Y есть друзья в X. Иньективное – это когда друг только один (необязательно у кажд элем-та  есть друг, но если он есть, то только один). Биективное: сюрьективное и иньективное, т.е. у кажд элем-та y  из Y  есть единственный друг х в Х .