5. Биекция
Примеры биекций.
№1 А= (в фигурных скобках) (1,2,3.4,5,6,7)
В = (также)(дни недели)
Есть 2 естественные биекции. У них 1f воскресенье, у нас же 1f понедельник.
№2 А=(1,2,…12)
В=(месяцы) 1f – январь
№3 А,В, мн-во пальцев правой и левой рук всего 120шт, почему? = 5!=
№4 а любое не пустое мн-во соотв между А и А по закону аfа (обозначение f=id – биекция)
А (через круг нарисовать 3 петли)
Id
№5 биекция между бесконечными мн-ми приведет к парадоксам
N 1 2 3 4
N0 0 1 2 3
Соответ между N и N0 видно из рисунка (f(n)=n-1) будет биекцией
№6
N 1 2 3 4
N2 2 4 6 8
f(n) = 2n – биекция
№7 N и Z = (в фигур скоб) (…, -2, -1, 0, 1, 2…)
50 30 10 20 40
Z… -2, -1, 0 , 1 , 2
Ведро типо сами дорисуйте
10 20
N
Биекция№8
N и мн-во точек плоскости с целочисленными координатами
С-ва биекции
10 idd (идентичный) биекция
Соотв между М иМ в котор в каждой точке m перев в m
Мн-во М
(рисунок 3 точки (как треугольн) и из каждой по петле) биекция – из каждой точки выходит не более 1 стрелки и к каждой точке подходит не более 1 стрелки
По графу понятно что idd всюду определено, подходит сюективно, функционально. (и на то, и на другое)
20 если f -1 тоже биекция док-во это следует о св-х f и f-1 (см.билет №3)
30 если f биекция между а и в, д строчная русская – биекция между в и с, f0д строчная русская – композиция – биекция между а и с
(f0д строчная русская)-1 = обратная композиция д строчная русская -1 0 f -1
Понятие и примеры счетных мно-в
2 мн-а между кот-ми можно установ биекцию назыв равномощными.
Опр: мн-о равномощное N – назыв счетным
Выше были расмотр некотор примеры счетных мн-в: N, N0, N2, Z мн-во точек с целочисленными координ.
№9 мн-во всех дробей докажем что это мн-во счетно, для чего установим биекцию между этими мн-ом и N
№10 мн-во всех рациональных Q счетно
Искомая биекция между N и Q как в №9, только по ходу следования змейкой, номерки выдаем не всем, а только тем котор составл новое рацион число
6 Биекция. Особенности матриц и графов. Понятие и примеры множеств мощности континуум.
ЧТО ЕСТЬ!!!!
Мн-во равномощное R (действит) называется мн-ом мощности континуум
Само мн-во R биекция ид id
Любой числовой интервал мн-во мощности континуумю любые два числовых интервала равномощны
Любой отрезок имеет мощность континуум. Любые 2 отрезка равномощны – ясно. Возьмем одинаковые отрезки и интервал и установим между ними биекцию
Флаг по середине и к нему с лева и права стремятся 2 последовательности точек. Рисуем стрелку из левого конца отрезка в середину левой половины интервала, из этой точки как точки отрезка ведем стрелку в соседнего справа точку интервала и т.д. справа тоже самое. Незадействованные точки прыгают на месте, но как точки отрезка в точку интервала.
Можно понять что мы установили биекцию между точками биекции и интервала (из каждой точки отрезка выходит по одной стрелки и к каждой точке интервала подходит тоже по одной .Другими примерами мн-в мощности континуум служат точки круга, плоскости, пространства.
Замечание: модуль
В(А) > А (в(А) и А в вертикальных палочках как модуль обозначаем)
Для бесконечных мн-в это тоже верно.
Ряд мощностей 0< 1<2<3… <счетного < континуум < …