25. N0 как подмножество z. Порядок в z

Нам в Z (целые числа) предстоит найти числа играющую роль натуральных.

N0 Z Представители

0 Q (0,0)

1 E (1,0)

2 целое число два (2,0)

3 целое число три (3,0)

4 целое число четыре (4,0)

5 целое число пять (5,0)

6 целое число шесть (6,0)

Что означает играют роль?

?

Два + три = пять (не равно пяти)

Два + три: (2+3, 0+0) = (5,0)

?

Два * три = шесть

Два * три: (2*2 + 0*0, 2*0 + 0*3) = (6,0)

Все хорошо со сложением и умножением

Вычитание связано со сложением, а деление с умножением.

О порядке в мн-ве целых неотрец чисел с 0 (Z c 0)

Опред: альфа больше беты. Если разность альфа и бета – натуральное число. (числа играющие роль нат чисел, например епсилон больше омикрон, т.к. разность епсилон(ЗАГЛАВНАЯ прописная Е) – омикрон (о с крючком в верхнем правом углу) = епсилон – натуральное число играет роль нат числа один. (епсилон=1, омикрон =0 ПОДСКАЗКА)

Теорема о св-х больше

> отношение строго линейного порядкаю

Док-ем – порядок = транзитивности+антисимметричности

>Транзитив, т.к. если альфа больше бета, бета больше гамма, т.е. разности (альфа – бета) и (бета – гамма) – об явл натур числами, тогла разность альфа – гамма = (альфа – бета) = (бета-гамма) – альфа – гамма – будет натур числом

>антисеммитричн т.е. при альфа не равным бета из альфа больше бета всегда следует бета не больше альфа (знак больше зачеркнуть), от противного, если бы при альфа не равным бета одновременно выполн нерав-во альфа больше бета и бета больше альфа, то по док-ву выше транзитивн альфа больше альфа, но разн альфи – альфа = омикрон (не натур) случ док-ва антирефлексивн: всегда альфа не больше альфа

Док-ва линейного этого строго порядка. Для этого надо проверить, что он связан, т.е. при альфа не равным бета всегда альфа больше бета или бета больше альфа. Почему? Потому что если разность (альфа –бета0 не натуральные число ( (альфа не равное бета), т.е. альфа – бета не равно омикрон)

11. Отношение эквивалентности. Отношения ,обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности, называются отношениями эквивалентности. (Рефлексивность – отношения R на множестве х называют рефлексивным. Если о любом элементе множества х можно сказать. Что он находится в отношении R с самим собой. Симметричность – отношения R на множестве х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, а элемент у находится в отнош R с элементом х. Транзитивность - отношения R на множестве х называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, а элемент у находится в отнош R с элементом z, следует что элемент х находится в отношении R с элементом z.) (пример: 2 ученика А и Б родились в одном месяце) Для того, чтобы отношение определяло разбиение множества на классы необходимо и достаточно, чтобы это отношение было отношение эквивалентности. Пусть на множестве задано какое-то отношение. Будем говорить, что некоторое разбиение множества на классы подчиненно данному отношению или это отношение порождает разбиение множества на классы. Пример отношение эквивалентности: Х= (2\4, 2\6, 2\8, 6\12, 6\18, 3\6) R: «х=у»

12. Отношение порядка. Отношение R на множестве х называется отношением порядка, если он антисимметрично и транзитивно. (Антисимметрично - отношения R на множестве х называется антисимметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, а элемент у не находится в отнош R с элементом х. Транзитивность - отношения R на множестве х называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, а элемент у находится в отнош R с элементом z, следует что элемент х находится в отношении R с элементом z.) Одно и тоже множество можно упорядочить по разному, например: учеников по фамилии, по успеваемости, по росту. Если выполняется св-во рефлексивности, то порядок не строгий. А если отношение выполняет св-во антирефлексивности, то порядок строгий. Если выполняется св-во связанности, то порядок линейный, а если не выполняется, то порядок частичный. Отношение Р называется связным на множестве М, если любые два элемента на а и b из множества М связанны отношением Р. (пример лин порядка – упорядочить фамилии учеников лексикографическим поряком (по имени , отчестве)

Билеты:

1. Понятие соответствия.

2. Частные виды соответствий (всюду определенное, сюръективное, функциональные и т.д.)

3. Понятие обратного соответствия.

4. Матрица соответствия.

5. Биекция. Примеры и свойства.

6. Биекция. Особености графов и матриц.

7. Теорема о том, что мощность множества больше счеткой.

8. Бинарное отношение.

9. Частные виды бинарных отношений.

10. Классы вычетов по простому и составному модулям.

11. Отношение эквивалентности.

12. Отношение порядка.

13. ТМТ ЦЕЛОГО НЕОТРИЦ ЧИСЛА.Понятие целого неотрицательного числа. Числа 0 и 1.

14. Сложение в №. Вычитание.

15. Умножение в №. Деление.

16. Порядок в №.

17. АТ ЦЕЛОГО НЕОТРИЦАТ ЧИСЛА.Аксиоматика Дж. Пеано. Числа 0 и 1.

18. Сложение в №.

19. Умножение в №.

20. Вычитание и деление в №.

21. Закон трихотомии и порядок в №.

22. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. Определение целого числа. 0 и 1.

23. Сложение и умножение целых чисел.

24. Вычитание и деление.

25. № как подмножество Z (цел чисел)