15. Умножение в Nо

a*0=0 по определению

a*s(b)=a*b+a, по опред

теорема о св-х умножения:

(a+b)*с=ас+ bс - правая дистрибутивность умнож-я относительно сложения

левая дистрибутивность

0*а=0 0-поглощающий элемент

1*а=а

а*1=а 1-нейтральный элемент

5. а* b= b*а коммутативность

6. (а* b)*с=а*( b*с) ассоциативность

Док-во:

1. если с=о, то (а+ b)*с=а*о+ b*о - верно, тк (а+ b)*о=о по опред, а*о=о, b*о=о по тому же опред-ю о+о=о

Лемма:

Дано(a+b)*с=ас+ bс при некотором с

Док-ть: (а+b)*s(с)=а*s(с)+ b*s(с)

Док-во: л.ч.(по опр)=(а+b)*с+а+b=(ас+bс)+(а+b)=…(ас+а)+(bс+b)

2. а*(b+с)=?аb+ас индукция по с

Берем с=0 и убеждаемся, что равенство а*(b+0)=а*b+а*0 – верно

л.ч.=а*(b+с)=а*s(b+с)

п.ч.=а*b+(ас+а)=(аb+ас)+а=а*s(b+с)

3. 0*а=0 индукция по а; при а=0 0*0=0 - верно по опред.

Лемма. Дано: 0*а=0 при некотором а

Д-ть: 0*s(а)=0

Д-во: самим

4. 1*а=а индукция по а при а=0 1*0=0 верно по опр-ю

Лемма. Дано:1*а=а при некотором а

Д-ть: 1*s(а)=s(а)

Д-во: л.ч.=1*s(а)=1*а+1=а+1=s(а)=п.ч.

а*1=а

л.ч.=а*s(а)=по опр а*0не равно а=0+а=а=п.ч.

5. а*b=?b*а индукция по b

Если b=0, то а*0=0 верно, тк 0-поглощ элемент

Лемма. Дано:а*b=b*а при некотором b

Д-ть: а*s(b)=s(b)*а

Д-во: л.ч.=а*b+а

п.ч.=(b+1)*а=b*а+1*а=а*b+а=л.ч.

16. Порядок в n0.

Определение:число а с представ.А больше числа в с В, если в А есть собственное подмножество В₁,равномощное В.

Можно доказать корректность этого определения.

Теорема о свойствах отношения больше.

Отношение больше – это отношение строгого линейного порядка.

Доказательство: пользуемся удобн.представит.(на рис. В₁ и А).

Порядок равен: транзитивность + антисимметричность.

Дано а>b, b>c. Доказать: а>c.

Док-во:

Антисимметричность.

18 Сложение в No и его свойства

Опр. а+о=а

а+s(b)= s(a+b)

примеры:

5+0=^опр.5

5+4= 5S(3)=^опр.S(5+3)=S(5+S(2))=^опр.S(S(5+2))=

=S(S(5+S(1)))=^опр=S(S(S(5+1)))= S(S(S(5+S(0))))= =S(S(S(S(5+0))))=^опр S(S(S(S(5))))= S(S(S(6)))= S(S(7))= =S(8)= 9

Теорема о свойствах сложения

1^о (а+b)+c= a+(b+c) ассоциативность

2^o o+b=b нуль левый нейтральный элемент

3^о a+1=1+a

4^о c(x)=x+1 структура функции следования

5^о a+b=b+a коммунитативность

6^о если a+c=b+c, то всегда a≠b

Доказательство

Все свойства будут доказываться полной математической индукцией

1⁰ Проверим сначала справедливость равенства

(а+b)+c=a+(b+c) при c=0

(a+b)+o=^? a+(b+0)

л.ч.=^опр. a+b, п.ч.=^опр.a+b=л.ч.

Лемма

Дано (a+b)+c=a+(b+c) при некотором с

Доказать (a+b)+s(c)=a+(b+s(c))

Доказательство a+b(s)=s(a+b)

л.ч.=^опр.s((a+b)+c)

п.ч.=^опр. a+s(b+c)=^опр.s(a+(b+c))=^дано=л.ч.

Доказываем 2⁰

0+b=b индукция по b

Если b=0,то 0+0=0 -верно,т.к.0+0=^опр.0

Лемма

Дано 0+b=b при некотором b

Доказать

0+s(b)=s(b)

Доказательство

л.ч.= s(0+b)=^даноs(b)=п.ч.

вывод: 0-нейтральный элемент сложения.

Доказываем 3⁰

а+1=1+а

проверим справедливость этого равенства при а=0.

Т.е. что 0+1=1+0

л .ч.= 0+s1 в силу 2⁰

п.ч.=1

Доказываем 4⁰

S(x)=x+1 по индукции

п.ч.=x+s(0)=^опр.s(x+0)=²⁰x=л.ч.

Доказываем 5⁰

a+b=b+a a=0 индукция по а

равенство 0+b=b+0 верно, т.к. 0 нейтральный элемент

лемма

дано a+b=b+a при некотором а

доказать s(a)+b=b+s(a)

доказательство

л.ч.= s(a+b)=⁴⁰(a+1)+b)=¹⁰a(1+b)=³⁰a+(b+1)=¹⁰(a+b)+1=⁴⁰s(a+b)

п.ч.=b+s(a)=^опр.s(b+a)=^даноs(a+b)=л.ч.

Доказываем 6⁰

Если a+c=b=c ,то всегда a≠b индукция по с

Из a+c=b+c вытекает равенство a=b при с=0- очевидно

Лемма

Дано

Из a+c=b=c вытекает a=b, следует при некотором с

Доказать

Из a+s(c)=b+s(c) тоже вытекает равенство a=b

Доказательство

Равенство a+s(c)=b+s(c) можно представить в виде

s(a+c)=s(b+c)

по аксиоме 2⁰ Пиано

a+c=b+c, а от сюда по дано a=b