3. Понятие обратного соответствия f – 1 . Теорема о свойствах f и f – 1. Следствие.

Соответствием между мн-ми х и у называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. (стойлова)

Соответствием f между элементами мн-в х и у наз-ют упорядоченную пару множ-в (х Х у, Gf ), где Gf (э наоборот без перекладины) х Х у. мн-во х наз-ют областью отправления, мн-во у - обл-ю прибытия, а мн-во Gf - графиком этого соответствия. (Чекин, Мерзон).

Для задания соотв. Между эл. Мн-в х и у необх. Указать декартово произвед этих мн-в и график Gf, кото-й сост из пар элем, находящихся в этом соответствии.

F ^{– 1} – если на графике соответствия F развёрнуты все стрелки, то получится - график так называемой обратного соответствия F ^{– 1}

Теорема о свойствах (F) и (F ^{– 1})^.

F F	Всюду определенно	Сюръекция	Функция	инъективно
F – 1	Сюръекция	Всюду определенно	инъективно	Функция

А В

В А

Доказательство.

Если (F) всюду определенно, то на графике (F) из каждой точки множества (А) выходит хотя бы одна стрелка.

На графике обратного соответствия (F ^{– 1}) к каждой точке множества (А) будет подходить хотя бы одна стрелка в следствии- инъективно.

Заносим в таблицу.

Если (F) сюръекция, то на графике (F) к каждой точке множества (В) подходит хотя бы одна стрелка.

После разворота стрелок из каждой точки множества (В) будет хотя бы одна стрелка.

Если (F) функция из каждой точки множества (А) выходит не более 1 стрелки.

После разворота стрелок к каждой точки множества (А) будет подходить не более 1 стрелки.

4. Матрица соответствия. Особенности матриц частных видов соответствий

Пусть А=(фигурные скобки)(0;2;4;5;6;7), В=(2,3,5,7)

Будем считать что аfв, если а: (тока три точки) в св-х f-?.

Решение:

Например 0f2,0f3,6f2,6f3,6f5

Решим эту задачу сначала при помощи графа, а затем при помощи матрицы соответствия f

D(f)=A отсюда следует f (всюду определена)

E(f)=B отсюда следует f (сюръекция)

Fне функция из-за 0 отсюда следует f не отображение и тем более не биекция, f2 Э (тока наоборот) В

D(f)=а, или т.к. в кажд строке есть хотя бы одна 1, т.е. кажд эл мн-а а чей то прообраз. E(f)=в, т.к. в каждом столбце…, т.е. кажд эл мн-ва в чей то образ F не функция из-за 0 (в этой строке слишком много единиц а можно только одну) отсюда следует f не инъекция из-за 2 кот э тока наоборот из В (В этом столбце, больше одной единицы)

А – все мы, В – все они.

Пусть аfв, если а – ребенок в, св-во f-?.

D(f)=а, т.к. среди нас нет Адама и Евы, т.к. из каждого из нас есть мама и папа в мн-ве В отсюда следует f всюду определено.

E(f)=мн-ву наших родителей не равно В отсюда следует f не сюръекция отсюда следует f не биекция f не функция, т.к. у каждого из нас 2 образа f не инъекция т.к. среди нас нет братьев и сестер, f не отображение.