2. Частные виды соответствий

Определение. Соответствие f=(X*Y, Gf) называется всюду определенным, еслиобластьопределения совпадает с первым множеством (областью отправления), т.е. с Х. на графе такого соответствия от каждого элемента первого множества отходит хотя бы одна стрелка.

Пример. Пусть Х-множество квадратов плоскости, У-множество действительных чисел. Каждому квадрату поставим в соответствие его площадь, выраженную числом в какой-нибудь фиксированной единицу измерения. Это соответствие является всюду определенным, так как каждый квадрат имеет определенную площадь. В этом случае каждому квадрату соответствует единственное число, которое равно его полщади.

Определение. Соответствие f=(X*Y , Gf) называется функциональным,если каждому элементу первого множества соответствует не более одного элемента второго множества. Из этого определения следует, что каждому элементу первого множества либо соответствует только один элемент второго множества, либо соответствует только один элемент второго множества,либо не соответствует ни один элемент из второго множества. Если нарисовать граф функционального соответствия, то от каждого элемента первого множества, если будет отходить, то только одна стрелка. Рассмотрим множество Х-пальто и множество У-номера в гардеробе. Каждому пальто поставим в соответствие номер, на крючке которого оно висит. Это соответствие функциональное. (ведь одно пальто не может висеть на двух номерах,но на одном крючке могут висеть два пальто.)Может, кто-то не сдаст пальто в гардероб, тогда этому не будет соответствовать никакой номер(т.е. это пальто не будет входить в область определения этого функционального соответствия).Множеством значений является множество тех крючков (номеров), на которых не висят пальто. Если остались крючки, на которых не висят пальто, то это соответствие не сюръективное.

Определение. Соответствие называется инъективным, если никаким разным элементам первого множества не соответствует один и тот же элемент второго множества.

На графе такого соответствия ни к какому элементу второго множетсва не подходят более одной стрелки (т.е. либо одна, либо ни одной).

График такого соответствия не содержит пар с разными первыми и одинаковыми вторыми элементами.

Пример. Каждой окружности плоскости поставлен в соответствие треугольник, вписанный в эту окружность. Это соответствие будет инъективным, так как каждому треугольнику будет соответствовать только одна окружность (ведь около каждого треугольника можно описать только одну окружность.) Заметим, что это соответствие не будет функциональным, так как в окружность можно вписать не один треугольник(а сколько?)

Упражнение. Будет ли это соответствие сюръективным, всюду определенным?

Определение. Соответствие f=(X*Y, Gf) называется обратным к g=(Y*X, Gg), если к каждому элементу Х соответствуют те элементы множества У, которым он соответствовал при g.

Чтобы получить соответствие, обратное данному , на его графе (если он существует) необходимо поменять направления стрелок. График обратного соответствия будет состоять из тех же пар, что и график данного соответствия\. Только элементы в парах поменяются местами.

Упражнение. При помощи графов показать, что: соответствие, обратное инъективному, функционально; соответствие, обратное функциональному, инъективно; соответствие, обратное сюръективному, всюду определенному, сюръективно.