1.4 Формулы полной вероятности и Байеса

Пусть событие A может произойти совместно с одним из событий H1, H2, . . . , Hn , которые попарно несовместны и образуют полную группу событий, т.е.

n

P Hi = Ω, а Hi ∩ Hi = , i 6= j и P (H1) + P (H2) + . . . +

i=1

P (Hn) = 1.

События Hi называются гипотезами. Тогда любое событие можно представить в виде суммы непересекающихся составляющих: A = P A · Hi. См. рисунок.

Рис. 1.11. Разложение события на составляющие

Пусть известны вероятности гипотез P (H1), P (H2), . . . ,

P (Hn) и условные вероятности P (A | H1), P (A | H2), . . . , P (A | Hn). Тогда вероятность события A равна сумме ве-

роятностей составляющих его частей:

XX

Формула (1.15) называется формулой полной вероятности. Вероятности P (Hi) называются доопытными (априорными) вероятностями гипотез.

Предположим, что произведен эксперимент, в результате которого наступило событие A . В связи с этим возникает вопрос: какова вероятность того, что данное событие

произошло в результате реализации той или иной гипотезы? Эта вероятность рассчитывается как условная вероятность интересующей нас гипотезы при условии, что произошло событие A.

Формула (1.16) называется формулой Байеса. Вероятности P (Hi | A) называются послеопытными (апостериорными) вероятностями. Заметим, что знаменатель в формулах (1.16) совпадает с правой частью формулы (1.15). Формулы (1.16) называют так же формулами гипотез.

1.4.1Решение задач

Задача. 1.4.1 Обследовалась группа из 10000 человек в возрасте свыше 60 лет. Оказалось, что 4000 человек являются постоянно курящими. У 1800 курящих обнаружились серьезные изменения в легких. Среди некурящих изменения в легких имели 1500 человек. Какова вероятность того, что наугад обследованный человек, имеющий изменения в легких, является курящим?

Решение. Введем гипотезы: H1 — обследованный является постоянно курящим, H2 — является некурящим. Тогда по условию задачи

Обозначим через A событие, состоящее в том, что обследованный имеет изменения в легких. Тогда по условию задачи

По формуле (1.15) находим

P (A) = P (H1)P (A | H1) + P (H2)P (A | H2) = = 0, 4 · 209 + 0, 6 · 205 = 201 (3, 6 + 3) = 620, 6 = 0, 3

Искомая вероятность того, что обследованный человек является курящим, по формуле Байеса равна

Задача. 1.4.2 В продажу поступают телевизоры трех заводов: 30% с первого завода, 20% — со второго, 50% — с третьего. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго — 10% , третьего

— 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор?

Решение. Рассмотрим события: A — приобретен исправный телевизор; гипотезы H1, H2, H3 — телевизор поступил в продажу соответственно с первого, второго, третьего завода. По условию задачи

95

P (A | H3) = 100 = 0.95.

По формуле (1.15) находим

Задача. 1.4.3 Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом 20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10 черных шаров, в третьем — 20 черных шаров. Из наугад выбранного ящика вынут белый шар. Найти вероятность того, что этот шар из второго ящика.

Решение. Пусть событие A — вынут белый шар, гипотезы H1, H2, H3 — шар вынут соответственно из первого, второго, третьего ящика. Из условия задачи находим

Тогда по формуле (1.15) находим

P (A) = P (H1)P (A | H1) + P (H2)P (A | H2) + P (H3)P (A | H3) =

=13 · (1 + 12 + 0) = 12

По формуле (1.16) находим

Задача. 1.4.4 Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в соотношении 5 : 3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если:

а) принят сигнал «точка»;

б) принят сигнал «тире».

Решение. Пусть событие A — принят сигнал «точка», а событие B — принят сигнал «тире».

Можно сделать две гипотезы: H1 — передан сигнал «точка», H2 — передан сигнал «тире». По условию P (H1) : P (H2) =

5 : 3. Кроме того, P (H1) + P (H2) = 1. Поэтому P (H1) = 5/8, P (H2) = 3/8. Известно, что

Задача. 1.4.5 Из 10 каналов радиосвязи 6 каналов защищены от воздействия помех. Вероятность того, что защищенный канал в течении времени t не выйдет из строя, равна 0.95, для незащищенного канала — 0.8. Найти вероятность того, что случайно выбранные два канала не выйдут из строя в течение времени t, причем оба канала не защищены от воздействия помех.

Решение. Пусть событие A — оба канала не выйдут из строя в течение времени t, событие A1 — выбран защищенный канал, A2 — выбран незащищенный канал.

Запишем пространство элементарных событий для

опыта — {ВЫБРАНО ДВА КАНАЛА}:

Ω = {A1A1, A1A2, A2A1, A2A2}

Гипотезы:

H1 — оба канала защищены от воздействия помех;

H2 — первый выбранный канал защищен, второй выбранный канал не защищен от воздействия помех;

H3 — первый выбранный канал не защищен, второй выбранный канал защищен от воздействия помех;